Estructura gruesa

En los campos matemáticos de la geometría y de la topología, una estructura gruesa en un conjunto X es una colección de subconjuntos del producto cartesiano X × X con ciertas propiedades que permiten definir la estructura a gran escala de espacios métricos y de espacios topológicos.

El objeto de estudio tradicional de la geometría y de la topología es la estructura a pequeña escala del espacio: propiedades como la continuidad de una función dependen de si las imágenes inversas de pequeños conjuntos abiertos, o entornos, son en sí mismas abiertas. Las propiedades a gran escala de un espacio, como el carácter de acotado o los grados de libertad del espacio, no dependen de dichas características. La geometría gruesa y la topología gruesa proporcionan herramientas para medir las propiedades a gran escala de un espacio, y así como una métrica o una topología contienen información sobre la estructura a pequeña escala de un espacio, una estructura gruesa contiene información sobre sus propiedades a gran escala.

Más concretamente, una estructura gruesa no es el análogo a gran escala de una estructura topológica, sino de una estructura uniforme.

Definición

Una estructura gruesa en un conjunto $X$ es una colección $\mathbf {E}$ de subconjuntos de $X\times X$ (por lo tanto, cae bajo la categorización más general de relación binaria en $X$) llamados conjuntos controlados, y para que $\mathbf {E}$ posea la relación identidad, se cierra tomando subconjuntos, inversos y finitos. sindicatos, y está cerrado bajo la composición de relaciones. Explícitamente:

1. Identidad/diagonal:

   Diagonal $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$ es miembro de $\mathbf {E}$: la relación de identidad.

2. Cerrada bajo la toma de subconjuntos:

   Si $E\in \mathbf {E}$ y $F\subseteq E,$ entonces $F\in \mathbf {E} .$

3. Cerrada tomando inversas:

   Si $E\in \mathbf {E}$, entonces la inversa (o transpuesta) $E^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in E\}$ es miembro de $\mathbf {E}$: la relación inversa.

4. Cerrada bajo la toma de uniones:

   Si $E,F\in \mathbf {E}$ entonces su unión $E\cup F$ es miembro de $\mathbf {E} .$

5. Cerrada bajo composición:

   Si es $E,F\in \mathbf {E}$, entonces su producto $E\circ F=\{(x,y):{\text{ existe }}z\in X{\text{ tal que }}(x,z)\in E{\text{ y }}(z,y)\in F\}$ es miembro de $\mathbf {E}$: composición de relaciones.

Un conjunto $X$ dotado de una estructura gruesa $\mathbf {E}$ es un espacio grueso.

Para un subconjunto $K$ de $X,$ el conjunto $E[K]$ se define como $\{x\in X:(x,k)\in E{\text{ para algunos }}k\in K\}.$ Se define la sección de $E$ por $x$ como el conjunto $E[\{x\}],$ también denotado como $E_{x}.$ El símbolo $E^{y}$ denota el conjunto $E^{-1}[\{y\}].$ Estas son formas de proyecciones.

Se dice que un subconjunto $B$ de $X$ es un conjunto acotado si $B\times B$ es un conjunto controlado.

Intuición

Los conjuntos controlados son conjuntos "pequeños", o "conjuntos negligibles": un conjunto $A$ tal que $A\times A$ esté controlado es negligible, mientras que una función $f:X\to X$ tal que su grafo esté controlado está "cerca" de la identidad. En la estructura gruesa acotada, estos conjuntos son los conjuntos acotados, y las funciones son las que están a una distancia finita de la identidad en métrica uniforme.

Aplicaciones gruesas

Dado un conjunto $S$ y una estructura gruesa $X,$ se dice que las aplicaciones $f:S\to X$ y $g:S\to X$ son cerradas si $\{(f(s),g(s)):s\in S\}$ es un conjunto controlado.

Para estructuras gruesas $X$ e $Y,$ se dice que $f:X\to Y$ es una aplicación gruesa si para cada conjunto acotado $B$ de $Y$ el conjunto $f^{-1}(B)$ está acotado en $X$ y para cada conjunto controlado $E$ de $X$ el conjunto $(f\times f)(E)$ está controlado en $Y.$​ Se dice que $X$ e $Y$ son gruesamente equivalentes si existen aplicaciones gruesas $f:X\to Y$ y $g:Y\to X$ tales que $f\circ g$ esté cerca de $\operatorname {id} _{Y}$ y $g\circ f$ esté cerca de $\operatorname {id} _{X}.$

Ejemplos

• Una estructura gruesa acotada

en un espacio métrico $(X,d)$ es la colección $\mathbf {E}$ de todos los subconjuntos $E$ de $X\times X$, de modo que $\sup _{(x,y)\in E}d(x,y)$ es finito. Con esta estructura, el retículo entero $\mathbb {Z} ^{n}$ es aproximadamente equivalente al espacio euclídeo $n$-dimensional.

• Un espacio $X$ donde $X\times X$ está controlado se denomina espacio acotado.

Un espacio así equivale aproximadamente a un punto. Un espacio métrico con la estructura gruesa acotada está acotado (como un espacio grueso) si y solo si está acotado (como un espacio métrico).

• La estructura gruesa trivial solo consta de la diagonal y sus subconjuntos. En esta estructura, una aplicación es una equivalencia aproximada si y solo si es una biyección (de conjuntos).
• estructura gruesa $C_{0}$

en un espacio métrico $(X,d)$ es la colección de todos los subconjuntos $E$ de $X\times X$ tal que para todo $\varepsilon >0$ hay un conjunto compacto $K$ de $E$ tal que $d(x,y)<\varepsilon$ para todo $(x,y)\in E\setminus K\times K.$ Alternativamente, la colección de todos los subconjuntos $E$ de $X\times X$ tal que $\{(x,y)\in E:d(x,y)\geq \varepsilon \}$ es compacto.

• Estructura gruesa discreta

en un conjunto $X$ consta de la diagonal $\Delta$ junto con los subconjuntos $E$ de $X\times X$ que contienen solo un número finito de puntos $(x,y)$) fuera de la diagonal.

• Si $X$ es un espacio topológico, entonces estructura gruesa no discreta

en $X$ consta de todos los subconjuntos propios de $X\times X,$ es decir, todos los subconjuntos $E$) de modo que $E[K]$ y $E^{-1}[K]$ son relativamente compactos siempre que $K$ sea relativamente compacto.

Véase también

• Bornología
• Cuasi isometría
• Espacio uniforme

Bibliografía

• John Roe, Lectures in Coarse Geometry, University Lecture Series Vol. 31, American Mathematical Society: Providence, Rhode Island, 2003. Corrections to Lectures in Coarse Geometry
• Roe, John (June–July 2006). «What is...a Coarse Space?» (PDF). Notices of the American Mathematical Society 53 (6): 669. Consultado el 16 de enero de 2008. 

• Datos: Q4502433