Espacio sucesionalmente compacto

En matemáticas, un espacio topológico es sucesionalmente compacto si toda sucesión infinita tiene una subsucesión convergente. Mientras que la compacidad es equivalente a la compacidad sucesional en espacios métricos, las nociones de compacidad y compacidad sucesional no son equivalentes en espacios topológicos generales. Un espacio métrico es (sucesionalmente) compacto si toda sucesión tiene una subsucesión convergente que converge a un punto en X.

Ejemplos y propiedades

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El espacio de los números reales con la topología estándar no es sucesionalmente compacto, la sucesión (sn = n) para todo número natural n es una sucesión que no tiene ninguna subsucesión convergente.

Si un espacio es un espacio métrico, entonces es sucesionalmente compacto si y solo si es compacto.[1]​ Sin embargo, en general existen espacios sucesionalmente compactos que no son compactos (como el primer ordinal no numerable con la topología del orden), y espacios compactos que no son sucesionalmente compactos (como el producto de   copias del intervalo unidad cerrado).[2]

Nociones relacionadas

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En un espacio métrico, las nociones de compacidad sucesional, compacidad de punto límite, compacidad numerable y compacidad son equivalentes.

En un espacio sucesional (de Hausdorff) la compacidad sucesional es equivalente a la compacidad numerable.[3]

También existe una noción de compactificación sucesional a un punto. La idea es que las sucesiones no convergente deben converger a un punto añadido.[4]

Véase también

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Referencias

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  1. Willard, 17G, p. 125.
  2. Steen and Seebach, Example 105, pp. 125—126.
  3. Engelking, General Topology, Theorem 3.10.31
    K.P. Hart, Jun-iti Nagata, J.E. Vaughan (editors), Encyclopedia of General Topology, Chapter d3 (by P. Simon)
  4. Brown, Ronald, "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

Bibliografía

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