Espacio polar

estructura geométrica

En matemáticas, en el campo de geometría, un espacio polar[1]​ de rango n (n ≥ 3), o índice proyectivo (n − 1), consta de un conjunto P, convencionalmente llamado el conjunto de puntos, junto con ciertos subconjuntos de P, llamados subespacios, que satisfacen estos axiomas:

  • Cada subespacio es isomorfo a un espacio proyectivo Pd(K) con −1 ≤ d ≤ (n − 1) y K un anillo de división (es decir, es una geometría proyectiva desarguesiana). Para cada subespacio, la d correspondiente se denomina dimensión.
  • La intersección de dos subespacios es siempre un subespacio.
  • Para cada subespacio A de dimensión (n − 1) y cada punto p que no está en A, existe un subespacio único B de dimensión (n − 1) que contiene p y es tal que AB tiene dimensión (n − 2). Los puntos en AB son exactamente los puntos de A que están en un subespacio común de dimensión 1 con p.
  • Hay al menos dos subespacios disjuntos de dimensión (n − 1).
Cuadrángulo generalizado con tres puntos por línea; un espacio polar de rango 2

Es posible definir y estudiar una clase de objetos un poco más grande usando solo relaciones entre puntos y líneas: un espacio polar es un espacio lineal parcial (P,L), de modo que para cada punto pP y cada línea lL, el conjunto de puntos de l colineales a p, solo tiene un elemento o es la totalidad de l.

Los espacios polares finitos (donde P es un conjunto finito) también se estudian como objetos combinatorios.

Cuadrángulos generalizados

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Un espacio polar de rango dos es un cuadrángulo generalizado; en este caso, en la última definición, el conjunto de puntos de una recta   colineal con un punto p es el conjunto completo de   solo si p . Se recupera la primera definición de la última bajo el supuesto de que las líneas tienen más de 2 puntos, los puntos se encuentran en más de 2 líneas y existen una línea   y un punto p que no está en  , de modo que p es colineal con todos los puntos de  .

Espacios polares clásicos finitos

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Sea   el espacio proyectivo de dimensión   sobre el campo finito   y sea   una forma sesquilineal reflexiva o una forma cuadrática en el espacio vectorial subyacente. Los elementos del espacio polar clásico finito asociados a esta forma son los elementos de los subespacios totalmente isótropos (cuando   es una forma sesquilineal) o los subespacios totalmente singulares (cuando   es una forma cuadrática) de   con respecto a  . El índice de Witt de la forma es igual a la dimensión del espacio vectorial más grande del subespacio contenido en el espacio polar, y se llama rango del espacio polar. Estos espacios polares clásicos finitos se pueden resumir en la siguiente tabla, donde   es la dimensión del espacio proyectivo subyacente y   es el rango del espacio polar. El número de puntos en un   se denota por   y es igual a  . Cuando   es igual a  , se obtiene un cuadrángulo generalizado.

Forma   Nombre Notación Número de puntos Grupo de colineación
Alternado   Simpléctico      
Hermítico   Hermítico      
Hermítico   Hermítico      
Cuadrático   Hiperbólico      
Cuadrático   Parabólico      
Cuadrático   Elíptico      

Clasificación

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Jacques Tits demostró que un espacio polar finito de rango al menos tres es siempre isomorfo con uno de los tres tipos de espacios polares clásicos indicados anteriormente. Esto deja abierto solo el problema de clasificar los cuadrángulos finitos generalizados.[2]

Referencias

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  1. Bart De Bruyn (2016). An Introduction to Incidence Geometry. Birkhäuser. pp. 23 de 372. ISBN 9783319438115. Consultado el 13 de octubre de 2023. 
  2. Tits Buildings and the Model Theory of Groups. Cambridge University Press. 2002. p. 87. ISBN 9780521010634. Consultado el 13 de octubre de 2023. 

Bibliografía

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