Ecuación diferencial de Bernoulli
La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el cambio de variable , esta ecuación es de la forma
donde y son funciones continuas en un intervalo abierto con .
Solución
editarCaso general ( )
editarDividimos la ecuación diferencial entre y obtenemos
o, equivalentemente
Definiendo obtenemos las igualdades
o
Reemplazando en la ecuación diferencial
Ecuación que resulta ser una ecuación diferencial lineal cuya solución está dada por
donde es una constante arbitraria, como entonces
Finalmente
Casos particulares
editarCuando entonces la ecuación
se reduce a la ecuación
cuya solución está dada por
Cuando entonces la ecuación
se reduce a
que puede resolverse mediante variables separables, dicha solución está dada por
Ejemplo
editarPara resolver la ecuación:
(*)
Se hace el cambio de variable , que introducido en ( ) da simplemente:
(**)
Multiplicando la ecuación anterior por el factor: se llega a:
Si se sustituye (
) en la última expresión y operando:Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:
Y se resuelve ahora la ecuación:
Deshaciendo ahora el cambio de variable:
Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :
Véase también
editarBibliografía
editar- Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.