Ecuación diferencial de Bernoulli

(Redirigido desde «Ecuacion diferencial de Bernoulli»)

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el cambio de variable , esta ecuación es de la forma

donde y son funciones continuas en un intervalo abierto con .

Solución

editar

Caso general ( )

editar

Dividimos la ecuación diferencial entre   y obtenemos

 

o, equivalentemente

 

Definiendo   obtenemos las igualdades

 

o

 

Reemplazando en la ecuación diferencial

 
 

Ecuación que resulta ser una ecuación diferencial lineal cuya solución está dada por

 

donde   es una constante arbitraria, como   entonces

 

Finalmente

 
 

Casos particulares

editar

Cuando   entonces la ecuación

 

se reduce a la ecuación

 

cuya solución está dada por

 

Cuando   entonces la ecuación

 

se reduce a

 

que puede resolverse mediante variables separables, dicha solución está dada por

 

Ejemplo

editar

Para resolver la ecuación:

(*) 

Se hace el cambio de variable  , que introducido en (*) da simplemente:

(**) 

Multiplicando la ecuación anterior por el factor:   se llega a:

 

Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:

 

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:

 

Y se resuelve ahora la ecuación:

 

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

 

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue  :

 

Véase también

editar

Bibliografía

editar
  • Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7. 

Enlaces externos

editar