Ecuación de Colebrook-White

La Ecuación de Colebrook-White es una fórmula usada en hidráulica para el cálculo del factor de fricción de Darcy $\lambda$ también conocido como coeficiente de rozamiento. Se trata del mismo factor $f$ que aparece en la ecuación de Darcy-Weisbach.

La expresión de la fórmula de Colebrook-White (1937, 1939)^[1]^[2] es la siguiente:

${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}=-2\log _{10}{\left({\frac {k/D}{3,7}}+{\frac {2,51}{Re{\sqrt {\lambda }}}}\right)}$
Símbolo	Nombre
$Re$	Número de Reynolds
$k/D$	Rugosidad relativa
$\lambda$	Factor de fricción

El campo de aplicación de esta fórmula se encuentra en la zona de transición de flujo laminar a flujo turbulento y flujo turbulento. Para la obtención de $\lambda$ es necesario el uso de métodos iterativos. Otra forma más sencilla y directa de obtener el valor de $\lambda$ es hacer uso del diagrama de Moody.

Para el caso particular de tuberías lisas la rugosidad relativa, es decir la relación entre la rugosidad en las paredes de la tubería y el diámetro de la misma, es muy pequeño con lo que el término $k/D$ es muy pequeño y puede despreciarse el primer sumando situado dentro del paréntesis de la ecuación anterior. Quedando en este caso particular la ecuación del siguiente modo:

${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}=2\log _{10}{\left(Re{\sqrt {\lambda }}\right)}-0,8$

Para números de Reynolds muy grandes el segundo sumando situado dentro del paréntesis de la ecuación de Colebrook-White es despreciable. En este caso la viscosidad no influye en la práctica a la hora de determinar el coeficiente de fricción, este únicamente depende de la rugosidad relativa $k/D$ de la tubería. Esto se manifiesta en el diagrama de Moody en que en la curva para valores elevados de $Re$ se hacen rectas horizontales.

Aproximaciones conocidas para el cálculo del factor de fricción

Para la solución de la ecuación implícita de Colebrook-White se han planteado diversos técnicas divididas en dos tipos principalmente^[3]

Métodos iterativos implícitos.

Existen varias formas de solucionar la ecuación de Colebrook-White de forma iterativa pero se presenta aquí solo el algoritmo de Newton-Raphson.^[4]

Solución implícita por Iteración de Método de Newton-Raphson

La ecuación se plantea con un proceso iterativo en $\lambda$ .

Primero es necesario suponer un valor de $\lambda =0.001$

Calcular:

x={1 \over {\lambda }^{0.5}}

a={{k/\ D} \over 3.70}

b={2.51 \over Re}

f(x)={-2.0\cdot log_{10}{(a+b\cdot x)}}

f'(x)={-2.0 \over {ln(10)}}\cdot ({b \over {a+b\cdot x}})

\Delta ={{f(x)-x} \over {f'(x)-1}}

Si $\Delta >~1e^{-8}$ entonces

x=x-\Delta

Repetir hasta lograr convergencia en $x$ .

Por último calcular $\lambda$ a partir de $x$ .

\lambda ={1 \over x^{2}}

Donde $\lambda$ está en función de:


Símbolo	Nombre	Unidad
$k$	Rugosidad de la tubería	(mm) o (pulg)
$D$	Diámetro	(mm) o (pulg)
$Re$	Número de Reynolds

Métodos directos, explícitos.

Existen muchas ecuaciones explícitas a la ecuación de Colebrook-White como:

Moody (1944,^[5] 1947^[6]),

Wood (1966^[7]),

Eck (1973^[8]),

Churchill (1973^[9]),

Swamee & Jain (1976^[10]),

Chen (1979^[11]),

Round (1980^[12]),

Barr (1981^[13]),

Zigrang and Sylvester (1982^[14]),

Haaland (1983^[15]),

Serghides (1984^[16]),

Manadilli (1997^[17]),

Romeo et al (2002^[18]),

Sonnad and Goudar (2006^[19]),

Buzelli (2008^[20]),

Avci and Karagoz (2009^[21]),

Papaevangelou et al. (2010^[22]) and

Brkic (2011^[23]).

Sin embargo debe recordarse que estas ecuaciones corresponden a aproximaciones y regresiones de valores calculados a partir de métodos implícitos como el de Newton-Raphson. Tan sólo la ecuación de Avci and Karagoz (2009) ha sido desarrollada a partir de datos de laboratorio recientes conocidos como "Princeton University super-pipe data".^[24]

Solución explícita con la ecuación de Goudar–Sonnad

La ecuación de Goudar es una de las aproximaciones para hallar el factor de fricción $\lambda$ de Darcy–Weisbach, en tuberías circulares; la cual ha sido calculada de la ecuación de Colebrook–White. Teniéndose:

a={2 \over \ln(10)}

b={k/D \over 3.7}

d={\ln(10)Re \over 5.02}

s={bd+\ln(d)}

q={{s}^{s/(s+1)}}

g={bd+\ln {d \over q}}

z={\ln {q \over g}}

D_{LA}=z{g \over {g+1}}

D_{CFA}=D_{LA}\left(1+{\frac {z/2}{(g+1)^{2}+(z/3)(2g-1)}}\right)

{\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}={a\left[\ln \left({\frac {d}{q}}\right)+D_{CFA}\right]}

Donde λ está en función de:

Rugosidad de la tubería, $k$ (mm, pulgada)
Diámetro, $D$ (mm, pulgada)
Número de Reynolds, $Re$ (adimensional).

Discusión acerca del error de las aproximaciones

Brkic,^[3] encontró que las aproximaciones con menor error máximo (<0.14%) son las de Romeo-Royo-Monzon, Buzelli, Serghides, Zigrang-Silvester. Mientras que del otro lado de la balanza, las aproximaciones con mayor error relativo (>8.0%) fueron las de Eck, Round, Moody, Wood, Rao-Kumar.

Un resultado interesante de este trabajo radica en que la aproximación más usada para aproximar la ecuación de Colebrook suele ser la de Swamee y Jain, pero esta presenta un error máximo relativo superior al 2.0%.

Referencias

↑ Colebrook, C.F. (febrero de 1939). «Turbulent flow in pipes, with particular reference to the transition region between smooth and rough pipe laws». Journal of the Institution of Civil Engineers (Londres).
↑ Colebrook, C. F. and White, C. M. (1937). «Experiments with Fluid Friction in Roughened Pipes». Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences 161 (906): 367-381. Bibcode:1937RSPSA.161..367C. doi:10.1098/rspa.1937.0150.
↑ ^a ^b Brkic, D. (2011). «Review of explicit approximations to the colebrook relation for flow friction». Journal of Petroleum Science and engineering (77): 34 - 48. doi:10.1016/j.petrol.2011.02.006.
↑ Saldarriaga, J.G. (2001). "Hidraulica de Tuberias".: 85–90.
↑ Moody, L.F., (1944). Friction factors for pipe flow. Trans. ASME 66 (8), 671–684. |«Copia archivada». Archivado desde el original el 8 de septiembre de 2008. Consultado el 23 de junio de 2009.
↑ Moody, L.F., (1947). An approximate formula for pipe friction factors. Trans. ASME 69(12), 1005–1011.
↑ Wood, D.J., (1966). An explicit friction factor relationship. Civil. Eng. 36 (12), 60–61
↑ Eck, B., (1973). Technische Stromungslehre. Springer, New York
↑ Churchill, S.W., (1973). Empirical expressions for the shear stress in turbulentflow in commercial pipe. AIChE J. 19 (2), 375–376
↑ Swamee, P.K., Jain, A.K., (1976). Explicit equations for pipeflow problems. J. Hydraul. Div. ASCE 102 (HY5), 657–664
↑ Chen NH. (1979) An explicit equation for friction factor in pipe. Ind Eng Chem Fund 1979; 18(3):296‐297.
↑ Round, G.F., (1980). An explicit approximation for the friction factor-Reynolds number relation for rough and smooth pipes. Can. J. Chem. Eng. 58 (1), 122–123.
↑ Barr DIH. Solutions of the Colebrook‐White function for resistance to uniform turbulent flow. Proc Inst Civil Eng 1981;2(71):529.
↑ Zigrang D.J, Sylvester N.D. (1982). Explicit approximations to the solution of the Colebrook’s friction factor equation. AIChE J 1982;28:514–515.
↑ Haaland S.E. (1983) Simple and explicit formulas for the friction factor in turbulent pipe flow. Journ Fluids Eng 1983:105.
↑ Serghides, T.K., (1984). Estimate friction factor accurately. Chem. Eng. 91 (5), 63–64
↑ Manadilli G. (1997) Replace implicit equations with signomial functions. Chem Eng J 1997; 104(8):129.
↑ Romeo E, Royo C, Monzon A. (2002)Improved explicit equations for estimation of the friction factor in rough and smooth pipes. Chem Eng J 2002;86(3):369–374
↑ Goudar, C.T., Sonnad, J.R. (2008). "Comparison of the iterative approximations of the Colebrook–White equation". Hydrocarbon Processing Fluid Flow and Rotating Equipment Special Report2008: 79–83.
↑ Buzelli D. Calculating friction in one step. Mach Des 2008;80(12):54–55.
↑ Avci, A., Karagoz, I. (2009). "A novel explicit equation for friction factor in smooth and rough pipes". Journal of Fluid Engineering ASME 131(6),1-4 061203
↑ Papaevangelou, G., Evangelides, C., Tzimopoulos, C., 2010. A new explicit equation for the friction coefficient in the Darcy–Weisbach equation, Proceedings of the Tenth Conference on Protection and Restoration of the Environment: PRE10, July 6–9, 2010. Greece Corfu 166, 1–7.
↑ Brkić, D. (2011a). An explicit approximation of the Colebrook equation for fluid flow friction factor. Petrol. Sci. Tech. 29(xx), xxx–xxx. accepted, in press.
↑ «http://www.princeton.edu/mae/people/faculty/smits/homepage/data-1/».

Datos: Q3730825

[1] Colebrook, C.F. (febrero de 1939). «Turbulent flow in pipes, with particular reference to the transition region between smooth and rough pipe laws». Journal of the Institution of Civil Engineers (Londres).

[2] Colebrook, C. F. and White, C. M. (1937). «Experiments with Fluid Friction in Roughened Pipes». Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences 161 (906): 367-381. Bibcode:1937RSPSA.161..367C. doi:10.1098/rspa.1937.0150.

[Brkic_1-3] Brkic, D. (2011). «Review of explicit approximations to the colebrook relation for flow friction». Journal of Petroleum Science and engineering (77): 34 - 48. doi:10.1016/j.petrol.2011.02.006.

[4] Saldarriaga, J.G. (2001). "Hidraulica de Tuberias".: 85–90.

[5] Moody, L.F., (1944). Friction factors for pipe flow. Trans. ASME 66 (8), 671–684. |«Copia archivada». Archivado desde el original el 8 de septiembre de 2008. Consultado el 23 de junio de 2009.

[6] Moody, L.F., (1947). An approximate formula for pipe friction factors. Trans. ASME 69(12), 1005–1011.

[7] Wood, D.J., (1966). An explicit friction factor relationship. Civil. Eng. 36 (12), 60–61

[8] Eck, B., (1973). Technische Stromungslehre. Springer, New York

[9] Churchill, S.W., (1973). Empirical expressions for the shear stress in turbulentflow in commercial pipe. AIChE J. 19 (2), 375–376

[10] Swamee, P.K., Jain, A.K., (1976). Explicit equations for pipeflow problems. J. Hydraul. Div. ASCE 102 (HY5), 657–664

[11] Chen NH. (1979) An explicit equation for friction factor in pipe. Ind Eng Chem Fund 1979; 18(3):296‐297.

[12] Round, G.F., (1980). An explicit approximation for the friction factor-Reynolds number relation for rough and smooth pipes. Can. J. Chem. Eng. 58 (1), 122–123.

[13] Barr DIH. Solutions of the Colebrook‐White function for resistance to uniform turbulent flow. Proc Inst Civil Eng 1981;2(71):529.

[14] Zigrang D.J, Sylvester N.D. (1982). Explicit approximations to the solution of the Colebrook’s friction factor equation. AIChE J 1982;28:514–515.

[15] Haaland S.E. (1983) Simple and explicit formulas for the friction factor in turbulent pipe flow. Journ Fluids Eng 1983:105.

[16] Serghides, T.K., (1984). Estimate friction factor accurately. Chem. Eng. 91 (5), 63–64

[17] Manadilli G. (1997) Replace implicit equations with signomial functions. Chem Eng J 1997; 104(8):129.

[18] Romeo E, Royo C, Monzon A. (2002)Improved explicit equations for estimation of the friction factor in rough and smooth pipes. Chem Eng J 2002;86(3):369–374

[19] Goudar, C.T., Sonnad, J.R. (2008). "Comparison of the iterative approximations of the Colebrook–White equation". Hydrocarbon Processing Fluid Flow and Rotating Equipment Special Report2008: 79–83.

[20] Buzelli D. Calculating friction in one step. Mach Des 2008;80(12):54–55.

[21] Avci, A., Karagoz, I. (2009). "A novel explicit equation for friction factor in smooth and rough pipes". Journal of Fluid Engineering ASME 131(6),1-4 061203

[22] Papaevangelou, G., Evangelides, C., Tzimopoulos, C., 2010. A new explicit equation for the friction coefficient in the Darcy–Weisbach equation, Proceedings of the Tenth Conference on Protection and Restoration of the Environment: PRE10, July 6–9, 2010. Greece Corfu 166, 1–7.

[23] Brkić, D. (2011a). An explicit approximation of the Colebrook equation for fluid flow friction factor. Petrol. Sci. Tech. 29(xx), xxx–xxx. accepted, in press.

[24] «http://www.princeton.edu/mae/people/faculty/smits/homepage/data-1/».

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