Ecuación de Allen-Cahn

La ecuación de Allen-Cahn, por John W. Cahn y Sam Allen, es una ecuación de reacción-difusión de física matemática que describe el proceso de separación de fases en sistemas de aleaciones de varios componentes, incluidas las transiciones de orden-desorden.

La ecuación describe la evolución temporal de una variable de estado escalar-valorada $\eta$ en un dominio $\Omega$ durante un intervalo de tiempo ${\mathcal {T}}$, y está dado por:​​

Ecuación	En
${{\partial \eta } \over {\partial t}}=M_{\eta }[\operatorname {div} (\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )-f'(\eta )]$	$\Omega \times {\mathcal {T}}$
$\eta ={\bar {\eta }}$	$\partial _{\eta }\Omega \times {\mathcal {T}}$
$-(\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )\cdot m=q$	$\partial _{q}\Omega \times {\mathcal {T}}$
$\eta =\eta _{o}$	$\Omega \times \{0\}$

Símbolo	Nombre
$M_{\eta }$	Movilidad
$f$	Densidad de energía libre
${\bar {\eta }}$	Control de la variable de estado en la parte del límite $\partial _{\eta }\Omega$
$q$	Control de fuente en $\partial _{q}\Omega$
$\eta _{o}$	Condición inicial
$m$	Normal al exterior $\partial \Omega$

es el flujo de gradiente L² de la energía libre de Ginzburg – Landau – Wilson funcional.​ Está estrechamente relacionado con la ecuación de Cahn-Hilliard. En una dimensión espacial, Xinfu Chen da una descripción muy detallada de un artículo.​

Bibliografía

• http://www.ctcms.nist.gov/~wcraig/variational/node10.html
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• Allen, S. M.; Cahn, J. W. (1976). «On Tricritical Points Resulting from the Intersection of Lines of Higher-Order Transitions with Spinodals». Scripta Metallurgica 10 (5): 451-454. doi:10.1016/0036-9748(76)90171-x. 
• Allen, S. M.; Cahn, J. W. (1976). «Mechanisms of Phase Transformation Within the Miscibility Gap of Fe-Rich Fe-Al Alloys». Acta Metall. 24 (5): 425-437. doi:10.1016/0001-6160(76)90063-8. 
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• Allen, S. M.; Cahn, J. W. (1979). «A Microscopic Theory for Antiphase Boundary Motion and Its Application to Antiphase Domain Coarsening». Acta Metall. 27 (6): 1085-1095. doi:10.1016/0001-6160(79)90196-2. 
• Bronsard, L.; Reitich, F. (1993). «On three-phase boundary motion and the singular limit of a vector valued Ginzburg–Landau equation». Arch. Rat. Mech. Anal. 124 (4): 355-379. Bibcode:1993ArRMA.124..355B. doi:10.1007/bf00375607. 

• Datos: Q4732089