Regla de Ruffini

En matemáticas, la regla de Ruffini (también se la conoce como Método de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner) es una forma compacta de escribir la división larga con divisor de primer grado. Específicamente facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma $(x-r)\$. Descrita por Paolo Ruffini en 1816, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»).​ El Algoritmo de Horner para la evaluación de polinomios utiliza la regla de Ruffini. La regla de Ruffini permite así mismo localizar raíces de un polinomio y en polinomios con coeficientes racionales factorizarlo en binomios de la forma $(x-r)\$ (siendo r un número entero).

Ejemplo del algoritmo de división larga

Historia del método de Ruffini

Paolo Ruffini (1765-1822)

El método de Ruffini-Horner para la búsqueda de un valor aproximado de la raíz de un polinomio fue publicado, con algunos años de diferencia por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) y por William George Horner (1819-1845, póstumamente); al parecer Horner no tenía conocimiento de los trabajos de Ruffini.

El método de Ruffini-Horner es difícilmente explotable si el polinomio posee dos raíces muy cercanas. Ruffini no evoca esta problemática, pero Horner propone un procedimiento especial para estos casos.​ El método de Horner fue utilizado por los matemáticos De Morgan y J.R. Young.

En tanto que técnica de cambio de variable, históricamente se encuentran algoritmos parecidos; por ejemplo en China, para la extracción de la raíz n-ésima;​ en la obra de Al Samaw'al (siglo XII).​ El matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (siglo XII) fue uno de los primeros en aplicarlo al caso general de una ecuación de tercer grado.​

Algoritmo resuelto con el método de Ruffini

La regla de Ruffini establece un método para la división del polinomio:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

entre el binomio:

$Q(x)=x-r\,\!$

para obtener el cociente:

$R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}$

y el resto:

$s.\!$

• 1. Se trazan dos líneas a manera de ejes y se escriben los coeficientes de P(x), ordenados y sin omitir términos nulos. Se escribe la raíz r del lado izquierdo (invirtiendo el signo de este) y el primer coeficiente en el renglón inferior (a_n):

${\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}$

• 2. Se multiplica (a_n) por r y se escribe debajo de a_n-1:

${\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}$

• 3. Se suman los dos valores obtenidos en la misma columna:

${\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&b_{n-2}=a_{n-1}+b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\end{array}}$

• 4. El proceso se repite:

${\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&\dots &b_{1}\,r&b_{0}\,r\\\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&b_{n-2}=a_{n-1}+b_{n-1}\,r&\dots &b_{0}=a_{1}+b_{1}\,r&s=a_{0}+b_{0}\,r\\\end{array}}$

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante $R(x)\!$ de grado uno menos que el grado de $P(x)\!$. El residuo es $s.\!$

Ejemplo 1

División de

$P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!$

entre

$Q(x)=x+1.\,\!$

utilizando la regla de Ruffini.

1. Se escribe $Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!$ y el primer coeficiente (2) en el primer renglón:

${\begin{array}{c|cccc}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}$

2. Multiplicando por la raíz r=(-1):

${\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}$

3. Sumando la columna:

${\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{1}&{}&{}\\\end{array}}$

4. El procedimiento se repite hasta obtener el residuo:

${\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{-1}&{1}\\\hline {}&2&{1}&{-1}&{-3}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}$

Si el polinomio original = divisor×cociente+resto, entonces

$P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!$, donde

$R(x)=2x^{2}+x-1\,\!$ y $s=-3.\,\!$

Ejemplo 2

Cuando el resto es igual a 0; permite factorizar, como en el siguiente ejemplo:

$F(x)=x^{3}+x^{2}-x-1$

Tomamos

$G(x)=x+1$

Usamos el método, y nos queda así:

${\begin{array}{c|rrrr}{}&1&1&-1&-1\\-1&{}&{-1}&{0}&{1}\\\hline {}&1&{0}&{-1}&{0}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}$

Entonces F(x) se factoriza $(x^{2}-1)(x+1)$

Ejemplo 3

División por polinomio con coeficientes complejos:

$F(x)=4x^{3}+x^{2}$

Tomamos

$G(x)=x+(1+i)$

Usamos el método, y nos queda así:

${\begin{array}{c|rrrr}{}&4&1&0&0\\-(1+i)&{}&-(4+4i)&-1+7i&8-6i\\\hline {}&4&-(3+4i)&(-1+7i)&-(-8+6i)\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}$

$F(x)=[4x^{2}-(3+4i)x+(-1+7i)]G(x)+(8-6i)$

Encontrar raíces

Véase también: Teorema de la raíz racional

Si $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ es un polinomio con coeficientes enteros y con a₀ y a_n distintos de cero, entonces por el teorema de la raíz racional, todas las raíces racionales reales serán de la forma p/q, donde p es un entero divisor de a₀ y q es un entero divisor de a_n. Así por ejemplo, si el polinomio es

$P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2=0\,\!,$

entonces las posibles raíces racionales son todos los enteros divisores de a₀ (−2):

${\text{Posibles raíces:}}\left\{+1,-1,+2,-2\right\}.$

Esto es de utilidad para poder factorizar un polinomio (en caso de ser factorizable) de coeficientes enteros, usando los divisores del término independiente.

Véase también

• Operaciones con polinomios
• División larga
• División polinomial
• Algoritmo de Horner
• Paolo Ruffini

Bibliografía

• Cámara Sánchez, Ángeles (2007). «Operaciones con polinomios». Curso básico de matemática y estadística: del bachillerato al grado. España: Delta. pp. 64,65. 
• Stapel, Elizabeth. «Synthetic Division: The Process». Purplemath (en inglés). Consultado el 30 de noviembre de 2011. 

Enlaces externos

• Ejemplos y ejercicios de la Regla de Ruffini en: Ejercicios de matemáticas
• Ejemplos y ejercicios de la Regla de Ruffini en: Vitutor
• Ejemplos y ejercicios de la Regla de Ruffini en: Matesfacil

• Datos: Q2704282
• Multimedia: Ruffini's rule / Q2704282