Distribución log-normal

En probabilidad y estadística, la distribución normal logarítmica es una distribución de probabilidad continua de una variable aleatoria cuyo logaritmo está normalmente distribuido. Es decir, si $X$ es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces $\operatorname {exp} (X)$ tiene una distribución log-normal, es decir $e^{X}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{x},\sigma _{x}^{2})$.

Log-normal
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$\mu \in \mathbb {R} ,$ $\sigma >0$
Dominio	$x\in (0,\infty )$
Función de densidad (pdf)	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
Función de distribución (cdf)	$\Phi \left({\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right)$
Media	$\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)$
Mediana	$\exp(\mu )$
Moda	$\exp(\mu -\sigma ^{2})$
Varianza	$e^{2\mu +\sigma ^{2}}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)$
Coeficiente de simetría	$\left(e^{\sigma ^{2}}+2\right){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}$
Entropía	$\log _{2}\left(\sigma e^{\mu +{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }}\right)$

Log-normal también se escribe log normal o lognormal o distribución de Tinaut.

Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.

Definición

Función de Densidad

Una variable aleatoria positiva $X$ tiene una distribución lognormal con parámetros $\mu$ y $\sigma$ y escribimos $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$, si el logaritmo natural de $X$ sigue una distribución normal con media $\mu$ y varianza $\sigma ^{2}$, esto es

$\ln(X)\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$

Sean $\Phi$ y $\phi$ las funciones de distribución acumulada y de densidad de una normal estándar $N(0,1)$, entonces la función de densidad de probabilidad de la distribución log-normal está dada por:

${\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {d}{dx}}\operatorname {P} [X\leq x]={\frac {d}{dx}}\operatorname {P} [\ln(X)\leq \ln(x)]={\frac {d}{dx}}\Phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)\\&=\phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {d}{dx}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)=\phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {1}{\sigma x}}\\&={\frac {1}{\sigma x{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}$

Función de Distribución

La función de distribución acumulada es

$F_{X}(x)=\Phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)$

donde $\Phi$ es la función de distribución acumulada de una normal estándar $N(0,1)$.

La expresión anterior también puede ser escrita como

${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)$

Log-normal Multivariada

Si${\boldsymbol {X}}\sim N({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ es una distribución normal multivariada entonces ${\boldsymbol {Y}}=\exp({\boldsymbol {X}})$ tiene una distribución lognormal multivariante con media

$\operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}}$

y matriz de covarianza

$\operatorname {Var} ({\boldsymbol {Y}})_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}\left(e^{\Sigma _{ij}}-1\right)$

Propiedades

Si $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ entonces la variable aleatoria $X$ cumple algunas propiedades.

La media de $X$ es

$\mathrm {E} [X]=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$

La varianza de $X$ es

$\operatorname {Var} (X)=\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)e^{2\mu +\sigma ^{2}}$.

Relación con media y la desviación estándar geométrica

La distribución log-normal, la media geométrica, y la desviación estándar geométrica están relacionadas. En este caso, la media geométrica es igual a $\exp(\mu )$ y la desviación estándar geométrica es igual a $\exp(\sigma )$.

Si una muestra de datos determina que proviene de una población distribuida siguiendo una distribución log-normal, la media geométrica de la desviación estándar geométrica puede utilizarse para estimar los intervalos de confianza tal como la media aritmética y la desviación estándar se usan para estimar los intervalos de confianza para un dato distribuido normalmente.

Límite de intervalo de confianza	log	geométrica
3σ límite inferior	$\mu -3\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}$
2σ límite inferior	$\mu -2\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}$
1σ límite inferior	$\mu -\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }$
1σ límite superior	$\mu +\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }$
2σ límite superior	$\mu +2\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}$
3σ límite superior	$\mu +3\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}$

Donde la media geométrica $\mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )$ y la desviación estándar geométrica $\sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )$

Momentos

Los primeros momentos son:

$\mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$

$\mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}$

$\mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}$

$\mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}$

o de forma general:

$\mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.$

Inferencia Estadística

Estimación de parámetros

Para determinar los estimadores por máxima verosimilitud de la distribución lognormal con parámetros $\mu$ y $\sigma ^{2}$, podemos utilizar el mismo método que se utilizó para estimar los parámetros de una distribución normal. Notemos que

$L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i})$

donde $\varphi$ denota la función de densidad de la distribución normal $N(\mu ,\sigma ^{2})$ entonces la función logarítmica de verosimilitud es

${\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},...,x_{n};\mu ,\sigma )=-\sum _{i}\ln x_{i}+{\mathcal {L}}_{N}(\ln x_{1},\ln x_{2},...,\ln x_{n};\mu ,\sigma )$

Dado que el primer término es constante respecto a $\mu$ y $\sigma$, ambas funciones logarítmicas de verosimilitud, ${\mathcal {L}}$ y ${\mathcal {L}}_{N}$, obtienen su máximo con el mismo $\mu$ y $\sigma$, por lo tanto, utilizando los estimadores por máxima verosimilitud son idénticos a los de la distribución normal para observaciones $\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}$

${\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma ^{2}}}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.$

Para una $n$ finita, estos estimadores son in sesgados.

Distribución log-normal ajustada a datos de lluvias máximas diarias por año.​

Aplicación

• En la hidrología, se utiliza la distribución log-normal para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,​ y además para describir épocas de sequía.​

La imagen azul ilustra un ejemplo del ajuste de la distribución log-normal a lluvias máximas diarias ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.

Distribución relacionada

• Si $X\sim \ N(\mu ,\sigma ^{2})$ es una distribución normal entonces $e^{X}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$.
• Si $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ entonces $\ln(X)\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$.
• Si $X_{m}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m={\overline {1...n}}$ son variables independentes log-normalmente distribuidas con el mismo parámetro μ y permitiendo que varíe σ, y $Y=\prod _{m=1}^{N}X_{m}$, entonces Y es una variable distribuida log-normalmente como: $Y\sim \operatorname {Lognormal} \left(\mu ,\sum _{m}\sigma _{m}^{2}\right)$.
• Si $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ entonces $X^{\alpha }\sim \operatorname {Lognormal} (\alpha \mu ,\alpha ^{2}\sigma ^{2})$ para $\alpha \neq 0$.

Véase también

• Distribución normal
• Media geométrica
• Desviación estándar
• Función error
• Análisis de frecuencia acumulada

Software

Se puede usar software o programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la lognormal, a una serie de datos:

• Easy fit Archivado el 23 de febrero de 2018 en Wayback Machine., "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting Archivado el 30 de agosto de 2012 en Wayback Machine.
• CumFreq [2] , libre sin costo, incluye la distribución normal, la lognormal, raíz-normal, cuadrado-normal, e intervalos de confianza a base de la distribución binomial
• Calculadora Distribución log-normal

Referencias

• Datos: Q826116
• Multimedia: Log-normal distribution / Q826116