En teoría de la probabilidad, la distribución zeta es una distribución de probabilidad definida sobre los números naturales con función de probabilidad
Distribución zeta |
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![Plot of the Zeta PMF](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Zeta_distribution_PMF.png/325px-Zeta_distribution_PMF.png) Dibujo de la función de probabilidad de la distribución Zeta en una escala log-log. (Nótese que la función solo está definida para valores de k enteros.) Función de probabilidad |
![Plot of the Zeta CMF](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Zeta_distribution_CMF.png/325px-Zeta_distribution_CMF.png)
Función de distribución de probabilidad |
Parámetros |
![{\displaystyle s\in (1,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bb63837482205240195033574f76d5b32ba441) |
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Dominio |
![{\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6ff1c746417c61fedc92cd8570777634cb96f3) |
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Función de probabilidad (fp) |
![{\displaystyle {\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d30cf046bca5e9d47ce56fd6a9e738d88319132) |
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Función de distribución (cdf) |
![{\displaystyle {\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec34b0ba5c806d8cd3bfdbbbffa7270333fed0f9) |
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Media |
![{\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}~{\textrm {para}}~s>2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bceeb30329cff830bd7871bae38c164dd81d710c) |
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Moda |
![{\displaystyle 1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd1e7984fe6e1b79a26404a8138a6c6ee41a476) |
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Varianza |
![{\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-2)-\zeta (s-1)^{2}}{\zeta (s)^{2}}}~{\textrm {para}}~s>3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1846daa6bbfb3633bd43d2dbbf3414ef59fade) |
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Entropía |
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}\log(k^{s}\zeta (s)).\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66aa26f394ae480f6c5fcdc9dbba62549b285ee) |
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Función generadora de momentos (mgf) |
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506647e6a9ffcab28156caf35604a3d568ca5641) |
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Función característica |
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{it})}{\zeta (s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ddb8df850f622a44df195252d1089c346c54485) |
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![{\displaystyle P(X=x)={\frac {x^{-s}}{\zeta (s)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa98de8316b85138a75789c6b4a24cdf8a439400)
donde
es un parámetro que mide la velocidad de decaimiento. Recibe su nombre de la función zeta de Riemann,
![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93c8e1855ade032db5645a862e1c82ff1c0e6d8)
Se trata del equivalente discreto de la distribución Pareto.
La distribución zeta fue utilizada por el economista italiano Vilfredo Pareto
(1848-1923) para estudiar la distribución de los ingresos familiares de un país determinado.