En teoría de probabilidad y estadística , la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:
Si
X
=
{
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle X=\{1,2,\dots \}}
Si
X
=
{
0
,
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle X=\{0,1,2,\dots \}}
Geométrica Parámetros
0
≤
p
≤
1
{\displaystyle 0\leq p\leq 1}
Dominio
x
∈
{
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle x\in \{1,2,\dots \}}
Función de densidad (pdf)
p
(
1
−
p
)
x
−
1
{\displaystyle p(1-p)^{x-1}}
Función de distribución (cdf)
1
−
(
1
−
p
)
x
−
1
{\displaystyle 1-(1-p)^{x-1}}
Media
1
p
{\displaystyle {\frac {1}{p}}}
Moda
0 Varianza
1
−
p
p
2
{\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}}
Coeficiente de simetría
2
−
p
1
−
p
{\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}}
Curtosis
6
+
p
2
1
−
p
{\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}}
Entropía
−
(
1
−
p
)
log
2
(
1
−
p
)
−
p
log
2
p
p
{\displaystyle {\frac {-(1-p)\log _{2}(1-p)-p\log _{2}p}{p}}}
Función generadora de momentos (mgf)
p
1
−
(
1
−
p
)
e
t
{\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}}
Si una variable aleatoria discreta
X
{\displaystyle X}
0
<
p
<
1
{\displaystyle 0<p<1}
X
∼
Geometrica
(
p
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Geometrica} (p)}
X
∼
Geo
(
p
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Geo} (p)}
editar
Si la variable aleatoria discreta
X
{\displaystyle X}
p
{\displaystyle p}
función de probabilidad de
X
∼
Geometrica
(
p
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Geometrica} (p)}
P
[
X
=
x
]
=
p
(
1
−
p
)
x
−
1
{\displaystyle \operatorname {P} [X=x]=p(1-p)^{x-1}}
para
x
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle x=1,2,3,\dots }
editar
Si
X
∼
Geometrica
(
p
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Geometrica} (p)}
función de distribución está dada por
P
[
X
≤
x
]
=
∑
k
=
1
x
p
(
1
−
p
)
k
−
1
=
∑
k
=
0
x
−
1
p
(
1
−
p
)
k
=
p
∑
k
=
0
x
−
1
(
1
−
p
)
k
=
p
(
1
−
(
1
−
p
)
x
−
1
+
1
1
−
(
1
−
p
)
)
=
1
−
(
1
−
p
)
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [X\leq x]&=\sum _{k=1}^{x}p(1-p)^{k-1}\\&=\sum _{k=0}^{x-1}p(1-p)^{k}\\&=p\sum _{k=0}^{x-1}(1-p)^{k}\\&=p\left({\frac {1-(1-p)^{x-1+1}}{1-(1-p)}}\right)\\&=1-(1-p)^{x}\end{aligned}}}
para
x
=
1
,
2
,
3
,
4
,
…
{\displaystyle x=1,2,3,4,\dots }
Si
X
∼
Geometrica
(
p
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Geometrica} (p)}
X
{\displaystyle X}
variable aleatoria
X
{\displaystyle X}
La media de
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
[ 1]
E
[
X
]
=
1
p
{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{p}}}
Demostración
Se demuestra fácilmente si consideramos la definición de esperanza
E
[
X
]
=
def
∑
x
=
1
∞
x
P
r
[
X
=
x
]
=
∑
x
=
1
∞
x
p
(
1
−
p
)
x
−
1
=
q
:=
1
−
p
p
∑
x
=
1
∞
x
q
x
−
1
=
p
∑
x
=
1
∞
d
d
q
(
q
x
)
=
p
d
d
q
(
∑
x
=
1
∞
q
x
)
=
Serie geométrica
{\displaystyle \operatorname {E} [X]{\overset {\text{def}}{=}}\sum _{x=1}^{\infty }xPr[X=x]=\sum _{x=1}^{\infty }xp(1-p)^{x-1}{\overset {q:=1-p}{=}}p\sum _{x=1}^{\infty }xq^{x-1}=p\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\left(q^{x}\right)=p{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\left(\sum _{x=1}^{\infty }q^{x}\right){\overset {\text{Serie geométrica}}{=}}}
=
p
d
d
q
(
q
1
−
q
)
=
p
1
(
1
−
q
)
2
=
q
=
1
−
p
p
1
p
2
=
1
p
{\displaystyle =p{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\left({\frac {q}{1-q}}\right)=p{\frac {1}{(1-q)^{2}}}{\overset {q=1-p}{=}}p{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{p}}}
donde se consideró la serie geométrica
∑
n
=
0
∞
α
n
=
1
1
−
α
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\alpha ^{n}={\frac {1}{1-\alpha }}}
α
{\displaystyle \alpha }
<
1.
◻
{\displaystyle <1.\quad \square }
La varianza de
X
{\displaystyle X}
Var
(
X
)
=
1
−
p
p
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}}
Demostración
Tenemos que
Var
[
X
]
=
E
[
X
2
]
−
E
[
X
]
2
=
E
[
X
(
X
−
1
)
+
X
]
−
E
[
X
]
2
=
linealidad
E
[
X
(
X
−
1
)
]
+
E
[
X
]
−
E
[
X
]
2
{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=\operatorname {E} [X(X-1)+X]-\operatorname {E} [X]^{2}{\overset {\text{linealidad}}{=}}\operatorname {E} [X(X-1)]+\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}}
y
E
[
X
(
X
−
1
)
]
=
∑
x
≥
0
x
(
x
−
1
)
p
(
1
−
p
)
x
−
1
=
p
(
1
−
p
)
∑
x
≥
0
x
(
x
−
1
)
(
1
−
p
)
x
−
2
=
q
:=
1
−
p
p
(
1
−
p
)
∑
x
≥
0
d
2
d
q
2
(
q
x
)
=
{\displaystyle \operatorname {E} [X(X-1)]=\sum _{x\geq 0}^{}{x(x-1)p(1-p)^{x-1}}=p(1-p)\sum _{x\geq 0}^{}{x(x-1)(1-p)^{x-2}}{\overset {q:=1-p}{=}}p(1-p)\sum _{x\geq 0}^{}{{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} q^{2}}}\left(q^{x}\right)}=}
=
p
(
1
−
p
)
d
2
d
q
2
(
∑
x
≥
0
q
x
)
=
Serie geométrica
p
(
1
−
p
)
d
2
d
q
2
(
q
1
−
q
)
=
p
(
1
−
p
)
d
d
q
(
1
(
1
−
q
)
2
)
{\displaystyle =p(1-p){{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} q^{2}}}\left(\sum _{x\geq 0}^{}q^{x}\right)}{\overset {\text{Serie geométrica}}{=}}p(1-p){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} q^{2}}}\left({\frac {q}{1-q}}\right)=p(1-p){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\left({\frac {1}{(1-q)^{2}}}\right)}
=
p
(
1
−
p
)
2
(
1
−
q
)
3
=
q
=
1
−
p
2
(
1
−
p
)
p
2
{\displaystyle =p(1-p){\frac {2}{(1-q)^{3}}}{\overset {q=1-p}{=}}{\frac {2(1-p)}{p^{2}}}}
Por tanto,
Var
[
X
]
=
E
[
X
(
X
−
1
)
]
+
E
[
X
]
−
E
[
X
]
2
=
2
(
1
−
p
)
p
2
+
1
p
−
1
p
2
=
2
(
1
−
p
)
+
p
−
1
p
2
=
1
−
p
p
2
◻
{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X(X-1)]+\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}={\frac {2(1-p)}{p^{2}}}+{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {2(1-p)+p-1}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}\quad \square }
editar
La función generadora de probabilidad f.g.p está dada por
G
X
(
t
)
=
p
t
1
−
t
(
1
−
p
)
{\displaystyle G_{X}(t)={\frac {pt}{1-t(1-p)}}}
si
|
t
|
<
(
1
−
p
)
−
1
{\displaystyle |t|<(1-p)^{-1}}
editar
La función generadora de momentos está dada por
M
X
(
t
)
=
p
e
t
1
−
(
1
−
p
)
e
t
{\displaystyle M_{X}(t)={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}}
si
t
<
−
ln
(
1
−
p
)
{\displaystyle t<-\ln(1-p)}
La distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida memoria, es decir, para cualesquiera
m
,
n
≥
0
{\displaystyle m,n\geq 0}
P
[
X
>
m
+
n
|
X
>
m
]
=
P
[
X
>
n
]
{\displaystyle \operatorname {P} [X>m+n|X>m]=\operatorname {P} [X>n]}
Su distribución análoga, la distribución exponencial , también tiene la propiedad de pérdida de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos.
La distribución geométrica es la única distribución discreta que tiene la propiedad de pérdida de memoria.
Distribuciones relacionadas
editar
La distribución geométrica
Y
{\displaystyle Y}
distribución binomial negativa con parámetro
k
=
1
{\displaystyle k=1}
Y
1
,
Y
2
,
…
,
Y
k
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{k}}
p
{\displaystyle p}
Z
=
∑
m
=
1
k
Y
m
∼
BN
(
k
,
p
)
{\displaystyle Z=\sum _{m=1}^{k}Y_{m}\sim \operatorname {BN} (k,p)}
es decir,
Z
{\displaystyle Z}
distribución binomial negativa con parámetros
k
{\displaystyle k}
p
{\displaystyle p}
Si
Y
1
,
Y
2
,
…
,
Y
r
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{r}}
pm posibles ), entonces su mínimo
W
=
min
m
Y
m
{\displaystyle W=\min _{m}Y_{m}}
también está geométricamente distribuido con parámetro
p
=
1
−
∏
m
(
1
−
p
m
)
{\displaystyle p=1-\prod _{m}(1-p_{m})}
↑ Ross, Sheldon (2009). A First Course in Probability (8th edición). Pearson. p. 545. ISBN 0-13-603313-X 
![{\displaystyle \operatorname {P} [X=x]=p(1-p)^{x-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17ab3a9d63b1f479ce193aab500f4cdd4494d66)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [X\leq x]&=\sum _{k=1}^{x}p(1-p)^{k-1}\\&=\sum _{k=0}^{x-1}p(1-p)^{k}\\&=p\sum _{k=0}^{x-1}(1-p)^{k}\\&=p\left({\frac {1-(1-p)^{x-1+1}}{1-(1-p)}}\right)\\&=1-(1-p)^{x}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c237f8811deeea555bfed638bb53427d73363708)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c087baeb7d0158b4d905ca5d8d99aa59d10c7ebc)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]{\overset {\text{def}}{=}}\sum _{x=1}^{\infty }xPr[X=x]=\sum _{x=1}^{\infty }xp(1-p)^{x-1}{\overset {q:=1-p}{=}}p\sum _{x=1}^{\infty }xq^{x-1}=p\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\left(q^{x}\right)=p{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\left(\sum _{x=1}^{\infty }q^{x}\right){\overset {\text{Serie geométrica}}{=}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1f4c936f0ecedd497ec502527c043aaf3509a0)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=\operatorname {E} [X(X-1)+X]-\operatorname {E} [X]^{2}{\overset {\text{linealidad}}{=}}\operatorname {E} [X(X-1)]+\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b537da65398b452f470b93b66e73ac335cf4777d)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X(X-1)]=\sum _{x\geq 0}^{}{x(x-1)p(1-p)^{x-1}}=p(1-p)\sum _{x\geq 0}^{}{x(x-1)(1-p)^{x-2}}{\overset {q:=1-p}{=}}p(1-p)\sum _{x\geq 0}^{}{{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} q^{2}}}\left(q^{x}\right)}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301a69a281db597d95e4edbd0697f725c992d824)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X(X-1)]+\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}={\frac {2(1-p)}{p^{2}}}+{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {2(1-p)+p-1}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}\quad \square }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b06e9346d3dbb8a3b847eeb4e3609786febad0f)
![{\displaystyle \operatorname {P} [X>m+n|X>m]=\operatorname {P} [X>n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888c9cbded75cb64f2cbd421d188cf59947712cc)
Datos: Q729523
Multimedia: Geometric distribution / Q729523
