Sean las variables aleatorias
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}
independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución
F
X
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)}
y función de densidad
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
. Sea también la variable
Y
{\displaystyle Y}
definida por:
Y
=
m
a
x
(
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
)
{\displaystyle Y=max(X_{1},X_{2},...,X_{n})}
. Entonces, la función de distribución del máximo de la muestra está dada por:
F
Y
(
y
)
=
[
F
X
(
y
)
]
n
{\displaystyle F_{Y}(y)=[F_{X}(y)]^{n}}
, y su función de densidad:
f
Y
(
y
)
=
n
[
F
X
(
y
)
]
n
−
1
f
X
(
y
)
{\displaystyle f_{Y}(y)=n[F_{X}(y)]^{n-1}f_{X}(y)}
.
Supongamos que
G
(
y
)
{\displaystyle G(y)}
es la función de distribución de Y, entonces:
G
(
y
)
=
P
(
Y
≤
y
)
=
P
(
m
a
x
(
X
1
,
.
.
.
,
X
n
)
≤
y
)
{\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)=P(max(X_{1},...,X_{n})\leq y)}
Como
X
i
≤
m
a
x
(
X
1
,
.
.
.
,
X
n
)
{\displaystyle X_{i}\leq max(X_{1},...,X_{n})}
para
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle i=1,2,...,n}
, el evento
m
a
x
(
X
1
,
.
.
.
,
X
n
)
≤
y
{\displaystyle max(X_{1},...,X_{n})\leq y}
. es equivalente al evento
(
X
1
≤
y
,
X
2
≤
y
,
.
.
.
,
X
n
≤
y
)
{\displaystyle (X_{1}\leq y,X_{2}\leq y,...,X_{n}\leq y)}
. Es decir, para que el máximo de
(
X
1
,
.
.
.
,
X
n
)
{\displaystyle (X_{1},...,X_{n})}
sea menor que
y
{\displaystyle y}
.
y
{\displaystyle y}
, cada una de las
X
i
{\displaystyle X_{i}}
tiene que ser menor o igual a ese número
y
{\displaystyle y}
. Por lo tanto:
G
(
y
)
=
P
(
Y
≤
y
)
{\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)}
=
P
(
m
a
x
(
X
1
,
.
.
.
,
X
n
)
≤
y
)
{\displaystyle =P(max(X_{1},...,X_{n})\leq y)}
=
P
(
X
1
≤
y
,
X
2
≤
y
,
.
.
.
,
X
n
≤
y
)
{\displaystyle =P(X_{1}\leq y,X_{2}\leq y,...,X_{n}\leq y)}
=
P
(
X
1
≤
y
)
P
(
X
2
≤
y
)
.
.
.
P
(
X
n
≤
y
)
{\displaystyle =P(X_{1}\leq y)P(X_{2}\leq y)...P(X_{n}\leq y)}
(Independencia)
=
[
P
(
X
1
≤
y
)
]
n
{\displaystyle =[P(X_{1}\leq y)]^{n}}
(Distribución idéntica)
=
[
F
(
y
)
]
n
{\displaystyle =[F(y)]^{n}}
(Definición)
Del mismo modo, la función de densidad de Y sería:
g
(
y
)
=
G
(
y
)
′
=
(
[
F
(
y
)
]
n
)
′
=
n
[
F
(
y
)
]
n
−
1
f
(
y
)
{\displaystyle g(y)=G(y)'=([F(y)]^{n})'=n[F(y)]^{n-1}f(y)}