Este aviso fue puesto el 18 de mayo de 2010.
Diseño de filtros de Respuesta Finita al Impulso (del inglés : FIR )
A respuesta finita del impulso (FIR) el filtro es un tipo de a filtro digital. respuesta del impulso, la respuesta del filtro a a Delta de Kronecker la entrada, es “finita” porque coloca a cero en un número finito de muestra intervalos. Esto está en contraste con respuesta infinita del impulso filtros que tienen regeneración interna y pueden continuar respondiendo indefinidamente. Un Nth filtro del FIR de la orden ticrimimal
s muestras N+1 en la duración.
Resumen de las características claves de los filtros FIR
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El filtro FIR básico se caracteriza por
Ec. 1
y
(
n
)
=
∑
k
=
0
N
−
1
h
(
k
)
x
(
n
−
k
)
{\displaystyle \scriptstyle y(n)=\sum _{k=0}^{N-1}h(k)x(n-k)}
Ec. 2
H
(
z
)
=
∑
k
=
0
N
−
1
h
(
k
)
z
−
k
{\displaystyle \scriptstyle \mathrm {H} (z)=\sum _{k=0}^{N-1}h(k)z^{-k}}
en donde
h
(
k
)
{\displaystyle h(k)}
,
k
=
0
,
1
,
.
.
.
,
N
−
2
,
N
−
1
{\displaystyle \scriptstyle k={0,\ 1,\ ...,\ N-2,\ N-1}}
son los coeficientes de la respuesta impulso del filtro,
H
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {H} (z)}
es la función de transferencia del filtro y
N
{\displaystyle N}
es el tamaño del filtro que es el número de coeficientes del filtro. Ec. 1 es la ecuación en diferencias para filtros FIR. Es una ecuación en el dominio del tiempo y describe al filtro FIR en la forma no recursiva, la muestra de salida actual,
y
(
n
)
{\displaystyle y(n)}
, es una función solo de los valores del pasado y presente de la entrada
x
(
n
)
{\displaystyle x(n)}
. Cuando los filtros FIR son implementados de esta forma, que es la evaluación directa de Ec. 1 son siempre estables. Ec. 2 es la función de transferencia del filtro. Provee un medio para analizar el filtro, por ejemplo evaluar la respuesta en frecuencia.
Los filtros FIR pueden tener una respuesta exactamente de fase lineal.
Los filtros FIR son muy fáciles de implementar, Todos los Procesadores DSP disponibles tienen arquitecturas que son apropiados para el filtrado FIR. Los filtros FIR no recursivos sufren menos los efectos de longitud de palabra que los filtros IIR. Los filtros FIR recursivos también existen y pueden ofrecer ventajas informáticas significativas.
Considérese:
x
(
n
)
=
{
4.5
,
5.4
,
6.3
,
7.2
,
8.1
,
9.0
}
{\displaystyle \scriptstyle x(n)=\lbrace 4.5,\ 5.4,\ 6.3,\ 7.2,\ 8.1,\ 9.0\rbrace }
Si
M
{\displaystyle M}
representa el orden o tamaño de
x
(
n
)
{\displaystyle x(n)}
entonces
→
M
=
6
{\displaystyle \scriptstyle \rightarrow \ M=6}
h
(
n
)
=
{
0.9
,
1.8
,
2.7
,
3.6
}
{\displaystyle \scriptstyle h(n)=\lbrace 0.9,\ 1.8,\ 2.7,\ 3.6\rbrace }
Si
N
{\displaystyle N}
representa el orden o tamaño de
h
(
n
)
{\displaystyle h(n)}
entonces
→
N
=
4
{\displaystyle \scriptstyle \rightarrow \ N=4}
Entonces
y
(
n
)
{\displaystyle y(n)}
se puede calcular como:
y
(
n
)
=
∑
k
=
0
N
−
1
h
(
k
)
x
(
n
−
k
)
{\displaystyle \scriptstyle y(n)=\sum _{k=0}^{N-1}h(k)x(n-k)}
o como:
y
(
n
)
=
∑
k
=
0
M
−
1
x
(
k
)
h
(
n
−
k
)
{\displaystyle \scriptstyle y(n)=\sum _{k=0}^{M-1}x(k)h(n-k)}
Se puede calcular así:
y
(
n
)
=
∑
k
=
0
3
h
(
k
)
x
(
n
−
k
)
{\displaystyle \scriptstyle y(n)=\sum _{k=0}^{3}h(k)x(n-k)}
y
(
0
)
=
x
(
0
)
∗
h
(
0
)
=
h
(
0
)
x
(
0
)
+
h
(
1
)
x
(
−
1
)
+
h
(
2
)
x
(
−
2
)
+
h
(
3
)
x
(
−
3
)
{\displaystyle \scriptstyle y(0)=x(0)*h(0)=h(0)x(0)+h(1)x(-1)+h(2)x(-2)+h(3)x(-3)}
y
(
0
)
=
0.9
×
4.5
+
1.8
×
0
+
2.7
×
0
+
3.6
×
0
=
4.05
{\displaystyle \scriptstyle y(0)=0.9\times 4.5+1.8\times 0+2.7\times 0+3.6\times 0=4.05}
y
(
1
)
=
x
(
1
)
∗
h
(
1
)
=
h
(
0
)
x
(
1
)
+
h
(
1
)
x
(
0
)
+
h
(
2
)
x
(
−
1
)
+
h
(
3
)
x
(
−
2
)
{\displaystyle \scriptstyle y(1)=x(1)*h(1)=h(0)x(1)+h(1)x(0)+h(2)x(-1)+h(3)x(-2)}
y
(
1
)
=
0.9
×
5.4
+
1.8
×
4.5
+
2.7
×
0
+
3.6
×
0
=
12.96
{\displaystyle \scriptstyle y(1)=0.9\times 5.4+1.8\times 4.5+2.7\times 0+3.6\times 0=12.96}
y
(
2
)
=
x
(
2
)
∗
h
(
2
)
=
h
(
0
)
x
(
2
)
+
h
(
1
)
x
(
1
)
+
h
(
2
)
x
(
0
)
+
h
(
3
)
x
(
−
1
)
{\displaystyle \scriptstyle y(2)=x(2)*h(2)=h(0)x(2)+h(1)x(1)+h(2)x(0)+h(3)x(-1)}
y
(
2
)
=
0.9
×
6.3
+
1.8
×
5.4
+
2.7
×
4.5
+
3.6
×
0
=
27.54
{\displaystyle \scriptstyle y(2)=0.9\times 6.3+1.8\times 5.4+2.7\times 4.5+3.6\times 0=27.54}
y
(
3
)
=
x
(
3
)
∗
h
(
3
)
=
h
(
0
)
x
(
3
)
+
h
(
1
)
x
(
2
)
+
h
(
2
)
x
(
1
)
+
h
(
3
)
x
(
0
)
{\displaystyle \scriptstyle y(3)=x(3)*h(3)=h(0)x(3)+h(1)x(2)+h(2)x(1)+h(3)x(0)}
y
(
3
)
=
0.9
×
7.2
+
1.8
×
6.3
+
2.7
×
5.4
+
3.6
×
4.5
=
48.6
{\displaystyle \scriptstyle y(3)=0.9\times 7.2+1.8\times 6.3+2.7\times 5.4+3.6\times 4.5=48.6}
y
(
4
)
=
x
(
4
)
∗
h
(
4
)
=
h
(
0
)
x
(
4
)
+
h
(
1
)
x
(
3
)
+
h
(
2
)
x
(
2
)
+
h
(
3
)
x
(
1
)
{\displaystyle \scriptstyle y(4)=x(4)*h(4)=h(0)x(4)+h(1)x(3)+h(2)x(2)+h(3)x(1)}
y
(
2
)
=
0.9
×
8.1
+
1.8
×
7.2
+
2.7
×
6.3
+
3.6
×
5.4
=
56
,
7
{\displaystyle \scriptstyle y(2)=0.9\times 8.1+1.8\times 7.2+2.7\times 6.3+3.6\times 5.4=56,7}
y
(
5
)
=
x
(
5
)
∗
h
(
5
)
=
h
(
0
)
x
(
5
)
+
h
(
1
)
x
(
4
)
+
h
(
2
)
x
(
3
)
+
h
(
3
)
x
(
2
)
{\displaystyle \scriptstyle y(5)=x(5)*h(5)=h(0)x(5)+h(1)x(4)+h(2)x(3)+h(3)x(2)}
y
(
5
)
=
0.9
×
9.0
+
1.8
×
8.1
+
2.7
×
7.2
+
3.6
×
6.3
=
64.8
{\displaystyle \scriptstyle y(5)=0.9\times 9.0+1.8\times 8.1+2.7\times 7.2+3.6\times 6.3=64.8}
y
(
n
)
=
{
4.05
,
12.96
,
27.54
,
48.6
,
56.7
,
64.8
}
{\displaystyle \scriptstyle y(n)=\lbrace 4.05,\ 12.96,\ 27.54,\ 48.6,\ 56.7,\ 64.8\rbrace }
calculando en la otra forma:
y
(
n
)
=
∑
k
=
0
5
x
(
k
)
h
(
n
−
k
)
{\displaystyle \scriptstyle y(n)=\sum _{k=0}^{5}x(k)h(n-k)}
y
(
0
)
=
x
(
0
)
∗
h
(
0
)
=
x
(
0
)
h
(
0
)
+
x
(
1
)
h
(
−
1
)
+
x
(
2
)
h
(
−
2
)
+
x
(
3
)
h
(
−
3
)
+
x
(
4
)
h
(
−
4
)
+
x
(
5
)
h
(
−
5
)
{\displaystyle \scriptstyle y(0)=x(0)*h(0)=x(0)h(0)+x(1)h(-1)+x(2)h(-2)+x(3)h(-3)+x(4)h(-4)+x(5)h(-5)}
y
(
0
)
=
4.5
×
0.9
+
5.4
×
0
+
6.3
×
0
+
7.2
×
0
+
8.1
×
0
+
9.0
×
0
=
4.05
{\displaystyle \scriptstyle y(0)=4.5\times 0.9+5.4\times 0+6.3\times 0+7.2\times 0+8.1\times 0+9.0\times 0=4.05}
y
(
1
)
=
x
(
1
)
∗
h
(
1
)
=
x
(
0
)
h
(
1
)
+
x
(
1
)
h
(
0
)
+
x
(
2
)
h
(
−
1
)
+
x
(
3
)
h
(
−
2
)
+
x
(
4
)
h
(
−
3
)
+
x
(
5
)
h
(
−
4
)
{\displaystyle \scriptstyle y(1)=x(1)*h(1)=x(0)h(1)+x(1)h(0)+x(2)h(-1)+x(3)h(-2)+x(4)h(-3)+x(5)h(-4)}
y
(
1
)
=
4.5
×
1.8
+
5.4
×
0.9
+
6.3
×
0
+
7.2
×
0
+
8.1
×
0
+
9.0
×
0
=
12.96
{\displaystyle \scriptstyle y(1)=4.5\times 1.8+5.4\times 0.9+6.3\times 0+7.2\times 0+8.1\times 0+9.0\times 0=12.96}
y
(
2
)
=
x
(
2
)
∗
h
(
2
)
=
x
(
0
)
h
(
2
)
+
x
(
1
)
h
(
1
)
+
x
(
2
)
h
(
0
)
+
x
(
3
)
h
(
−
1
)
+
x
(
4
)
h
(
−
2
)
+
x
(
5
)
h
(
−
3
)
{\displaystyle \scriptstyle y(2)=x(2)*h(2)=x(0)h(2)+x(1)h(1)+x(2)h(0)+x(3)h(-1)+x(4)h(-2)+x(5)h(-3)}
y
(
2
)
=
4.5
×
2.7
+
5.4
×
1.8
+
6.3
×
0.9
+
7.2
×
0
+
8.1
×
0
+
9.0
×
0
=
27.54
{\displaystyle \scriptstyle y(2)=4.5\times 2.7+5.4\times 1.8+6.3\times 0.9+7.2\times 0+8.1\times 0+9.0\times 0=27.54}
y
(
3
)
=
x
(
3
)
∗
h
(
3
)
=
x
[
0
]
h
(
3
)
+
x
(
1
)
h
(
2
)
+
x
(
2
)
h
(
1
)
+
x
(
3
)
h
(
0
)
+
x
(
4
)
h
(
−
1
)
+
x
(
5
)
h
(
−
2
)
{\displaystyle \scriptstyle y(3)=x(3)*h(3)=x[0]h(3)+x(1)h(2)+x(2)h(1)+x(3)h(0)+x(4)h(-1)+x(5)h(-2)}
y
(
3
)
=
4.5
×
3.6
+
5.4
×
2.7
+
6.3
×
1.8
+
7.2
×
0.9
+
8.1
×
0
+
9.0
×
0
=
48.6
{\displaystyle \scriptstyle y(3)=4.5\times 3.6+5.4\times 2.7+6.3\times 1.8+7.2\times 0.9+8.1\times 0+9.0\times 0=48.6}
y
(
4
)
=
x
(
4
)
∗
h
(
4
)
=
x
(
0
)
h
(
4
)
+
x
(
1
)
h
(
3
)
+
x
(
2
)
h
(
2
)
+
x
(
3
)
h
(
1
)
+
x
(
4
)
h
(
0
)
+
x
(
5
)
h
(
−
1
)
{\displaystyle \scriptstyle y(4)=x(4)*h(4)=x(0)h(4)+x(1)h(3)+x(2)h(2)+x(3)h(1)+x(4)h(0)+x(5)h(-1)}
y
(
4
)
=
4.5
×
0
+
5.4
×
3.6
+
6.3
×
2.7
+
7.2
×
1.8
+
8.1
×
0.9
+
9.0
×
0
=
56.7
{\displaystyle \scriptstyle y(4)=4.5\times 0+5.4\times 3.6+6.3\times 2.7+7.2\times 1.8+8.1\times 0.9+9.0\times 0=56.7}
y
(
5
)
=
x
(
5
)
∗
h
(
5
)
=
x
(
0
)
h
(
5
)
+
x
(
1
)
h
(
4
)
+
x
(
2
)
h
(
3
)
+
x
(
3
)
h
(
2
)
+
x
(
4
)
h
(
1
)
+
x
(
5
)
h
(
0
)
{\displaystyle \scriptstyle y(5)=x(5)*h(5)=x(0)h(5)+x(1)h(4)+x(2)h(3)+x(3)h(2)+x(4)h(1)+x(5)h(0)}
y
(
5
)
=
4.5
×
0
+
5.4
×
0
+
6.3
×
3.6
+
7.2
×
2.7
+
8.1
×
1.8
+
9.0
×
0.9
=
64.8
{\displaystyle \scriptstyle y(5)=4.5\times 0+5.4\times 0+6.3\times 3.6+7.2\times 2.7+8.1\times 1.8+9.0\times 0.9=64.8}
y
(
n
)
=
{
4.05
,
12.96
,
27.54
,
48.6
,
56.7
,
64.8
}
{\displaystyle \scriptstyle y(n)=\lbrace 4.05,\ 12.96,\ 27.54,\ 48.6,\ 56.7,\ 64.8\rbrace }
Simetría y número de coeficientes
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Tipos de filtro según respuesta deseada al impulso
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Especificaciones de filtros FIR
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Especificación de respuesta Magnitud Frecuencia para diferentes tipos de filtro.
Cálculo de Coeficientes
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A manera de ejemplo se calcularán los coeficientes para los cuatro filtros con los siguientes parámetros:
Frecuencia de 48000Hz
Filtro PasaBajo con Frecuencia de Corte 4000Hz
Filtro PasaAlto con Frecuencia de Corte 20000Hz
Filtro PasaBanda con Frecuencia Baja = 10000Hz, Frecuencia Alta = 14000Hz
Filtro ParaBanda con Frecuencia Baja = 2000Hz, Frecuencia Alta = 22000Hz
N = 9
Función ventana de Hamming
Se puede tener en cuenta que para la ventana de Hamming la Banda de Transición normalizada es:
Δ
F
=
3
,
3
/
N
=
3
,
3
/
9
=
0
,
3667
{\displaystyle \Delta F=3,3/N=3,3/9=0,3667}
Así la Banda de Transición en Hz será:
B
a
n
d
a
T
r
a
n
s
i
c
i
o
n
=
Δ
F
×
F
r
e
c
u
e
n
c
i
a
M
u
e
s
t
r
e
o
=
0
,
3667
×
48000
H
z
=
17600
H
z
{\displaystyle \scriptstyle BandaTransicion=\Delta F\times FrecuenciaMuestreo=0,3667\times 48000Hz=17600Hz}
Este valor es mayor que el Ancho de Banda de los cuatro filtros que es de 4000Hz, además las frecuencias contiguas fuera del ancho de banda respectivo no serían atenuadas lo suficiente; para hacerlo habría de aumentarse el orden del filtro, reduciéndose así el ancho de transición.
Para diferenciar la respuesta al impulso
h
(
n
)
{\displaystyle h(n)}
de los diferentes filtros, a esta se le agragará dos subíndices respectivamente así:
Filtro PasaBajo
h
(
n
)
L
P
{\displaystyle h(n)_{LP}}
Filtro PasaAajo
h
(
n
)
H
P
{\displaystyle h(n)_{HP}}
Filtro PasaBanda
h
(
n
)
P
B
{\displaystyle h(n)_{PB}}
Filtro ParaBanda
h
(
n
)
S
B
{\displaystyle h(n)_{SB}}
Coeficientes de la función ventana
editar
Los coeficientes para la ventana de Hamming serán:
n
{\displaystyle n}
w
(
n
)
=
0.54
+
0.46
×
c
o
s
(
2
π
n
N
)
{\displaystyle \scriptstyle w(n)=0.54+0.46\times \textstyle cos\scriptstyle \left({\frac {2\textstyle \pi n}{N}}\right)}
-4
w
(
−
4
)
=
0.54
+
0.46
×
c
o
s
(
2
×
π
×
−
4
9
)
=
0
,
9723
{\displaystyle \scriptstyle w(-4)=0.54+0.46\times \textstyle cos\scriptstyle \left({\frac {2\times \textstyle \pi \scriptstyle \times -4}{9}}\textstyle \right)=0,9723}
-3
w
(
−
3
)
=
0.54
+
0.46
×
c
o
s
(
2
×
π
×
−
3
9
)
=
0
,
7700
{\displaystyle \scriptstyle w(-3)=0.54+0.46\times \textstyle cos\scriptstyle \left({\frac {2\times \textstyle \pi \scriptstyle \times -3}{9}}\textstyle \right)=0,7700}
-2
w
(
−
2
)
=
0.54
−
0.46
×
c
o
s
(
2
×
π
×
−
2
9
)
=
0
,
4601
{\displaystyle \scriptstyle w(-2)=0.54-0.46\times \textstyle cos\scriptstyle \left({\frac {2\times \textstyle \pi \scriptstyle \times -2}{9}}\textstyle \right)=0,4601}
-1
w
(
−
1
)
=
0.54
−
0.46
×
c
o
s
(
2
×
π
×
−
1
9
)
=
0
,
1876
{\displaystyle \scriptstyle w(-1)=0.54-0.46\times \textstyle cos\scriptstyle \left({\frac {2\times \textstyle \pi \scriptstyle \times -1}{9}}\textstyle \right)=0,1876}
0
w
(
0
)
=
0.54
+
0.46
×
c
o
s
(
2
×
π
×
0
9
)
=
1
{\displaystyle \scriptstyle w(0)=0.54+0.46\times \textstyle cos\scriptstyle \left({\frac {2\times \textstyle \pi \scriptstyle \times 0}{9}}\textstyle \right)=1}
1
w
(
1
)
=
0.54
−
0.46
×
c
o
s
(
2
×
π
×
1
9
)
=
0
,
1876
{\displaystyle \scriptstyle w(1)=0.54-0.46\times \textstyle cos\scriptstyle \left({\frac {2\times \textstyle \pi \scriptstyle \times 1}{9}}\textstyle \right)=0,1876}
2
w
(
2
)
=
0.54
−
0.46
×
c
o
s
(
2
×
π
×
2
9
)
=
0
,
4601
{\displaystyle \scriptstyle w(2)=0.54-0.46\times \textstyle cos\scriptstyle \left({\frac {2\times \textstyle \pi \scriptstyle \times 2}{9}}\textstyle \right)=0,4601}
3
w
(
3
)
=
0.54
−
0.46
×
c
o
s
(
2
×
π
×
3
9
)
=
0
,
7700
{\displaystyle \scriptstyle w(3)=0.54-0.46\times \textstyle cos\scriptstyle \left({\frac {2\times \textstyle \pi \scriptstyle \times 3}{9}}\textstyle \right)=0,7700}
4
w
(
4
)
=
0.54
−
0.46
×
c
o
s
(
2
×
π
×
4
9
)
=
0
,
9723
{\displaystyle \scriptstyle w(4)=0.54-0.46\times \textstyle cos\scriptstyle \left({\frac {2\times \textstyle \pi \scriptstyle \times 4}{9}}\textstyle \right)=0,9723}
f
c
=
f
p
+
Δ
F
/
2
=
4000
H
z
/
48000
H
z
+
0
,
3667
/
2
=
0
,
2667
{\displaystyle f_{c}=f_{p}+\Delta F/2=4000Hz/48000Hz+0,3667/2=0,2667}
ω
c
=
2
π
f
c
=
1
,
6755
{\displaystyle \omega _{c}=2\pi f_{c}=1,6755}
Recuerdese que para efectos de identificación:
h
(
n
)
→
h
(
n
)
L
P
{\displaystyle \scriptstyle h(n)\;\rightarrow \;h(n)_{LP}}
h
d
(
n
)
→
h
d
(
n
)
L
P
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(n)\;\rightarrow \;h_{d}(n)_{LP}}
n
{\displaystyle n}
h
d
(
n
)
L
P
=
2
f
c
sin
(
n
×
ω
c
)
n
ω
c
=
sin
(
n
×
ω
c
)
n
π
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(n)_{LP}=2\textstyle f_{c}{\frac {\sin \scriptstyle \left(n\times \omega _{c}\right)}{n\omega _{c}}}=\textstyle {\frac {\sin \left(n\times \omega _{c}\right)}{n\pi }}}
h
(
n
)
L
P
=
w
(
n
)
×
h
d
(
n
)
L
P
{\displaystyle \scriptstyle h(n)_{LP}=w(n)\times h_{d}(n)_{LP}}
-4
h
d
(
−
4
)
L
P
=
sin
(
−
4
×
1
,
6755
)
−
4
π
=
0
,
0324
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-4)_{LP}=\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle -4\times 1,6755\right)}{\scriptstyle -4\textstyle \pi }}\scriptstyle =0,0324}
h
(
−
4
)
L
P
=
w
(
−
4
)
×
h
d
(
−
4
)
L
P
=
0
,
1077
×
0
,
0324
=
0
,
0035
{\displaystyle \scriptstyle h(-4)_{LP}=w(-4)\times h_{d}(-4)_{LP}=0,1077\times 0,0324=0,0035}
-3
h
d
(
−
3
)
L
P
=
sin
(
−
3
×
1
,
6755
)
−
3
π
=
−
0
,
1009
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-3)_{LP}=\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle -3\times 1,6755\right)}{\scriptstyle -3\textstyle \pi }}\scriptstyle =-0,1009}
h
(
−
3
)
L
P
=
w
(
−
3
)
×
h
d
(
−
3
)
L
P
=
0
,
3100
×
−
0
,
1009
=
−
0
,
0313
{\displaystyle \scriptstyle h(-3)_{LP}=w(-3)\times h_{d}(-3)_{LP}=0,3100\times -0,1009=-0,0313}
-2
h
d
(
−
2
)
L
P
=
sin
(
−
2
×
1
,
6755
)
−
2
π
=
−
0
,
0331
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-2)_{LP}=\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle -2\times 1,6755\right)}{\scriptstyle -2\textstyle \pi }}\scriptstyle =-0,0331}
h
(
−
2
)
L
P
=
w
(
−
2
)
×
h
d
(
−
2
)
L
P
=
0
,
6199
×
−
0
,
0331
=
−
0
,
0205
{\displaystyle \scriptstyle h(-2)_{LP}=w(-2)\times h_{d}(-2)_{LP}=0,6199\times -0,0331=-0,0205}
-1
h
d
(
−
1
)
L
P
=
sin
(
−
1
×
1
,
6755
)
−
1
π
=
0
,
3166
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-1)_{LP}=\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle -1\times 1,6755\right)}{\scriptstyle -1\textstyle \pi }}\scriptstyle =0,3166}
h
(
−
1
)
L
P
=
w
(
−
2
)
×
h
d
(
−
1
)
L
P
=
0
,
8924
×
0
,
3166
=
0
,
2825
{\displaystyle \scriptstyle h(-1)_{LP}=w(-2)\times h_{d}(-1)_{LP}=0,8924\times 0,3166=0,2825}
0
h
d
(
0
)
L
P
=
2
×
f
c
=
2
×
0
,
2667
=
0
,
5334
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(0)_{LP}=2\times f_{c}=2\times 0,2667=0,5334}
h
(
0
)
L
P
=
w
(
0
)
×
h
d
(
0
)
L
P
=
1
,
0000
×
0
,
5334
=
0
,
5334
{\displaystyle \scriptstyle h(0)_{LP}=w(0)\times h_{d}(0)_{LP}=1,0000\times 0,5334=0,5334}
1
h
d
(
1
)
L
P
=
sin
(
1
×
1
,
6755
)
1
π
=
0
,
3166
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(1)_{LP}=\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle 1\times 1,6755\right)}{\scriptstyle 1\textstyle \pi }}\scriptstyle =0,3166}
h
(
1
)
L
P
=
w
(
1
)
×
h
d
(
1
)
L
P
=
0
,
8924
×
0
,
3166
=
0
,
2825
{\displaystyle \scriptstyle h(1)_{LP}=w(1)\times h_{d}(1)_{LP}=0,8924\times 0,3166=0,2825}
2
h
d
(
2
)
L
P
=
sin
(
2
×
1
,
6755
)
2
π
=
−
0
,
0331
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(2)_{LP}=\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle 2\times 1,6755\right)}{\scriptstyle 2\textstyle \pi }}\scriptstyle =-0,0331}
h
(
2
)
L
P
=
w
(
2
)
×
h
d
(
2
)
L
P
=
0
,
6199
×
−
0
,
0331
=
−
0
,
0205
{\displaystyle \scriptstyle h(2)_{LP}=w(2)\times h_{d}(2)_{LP}=0,6199\times -0,0331=-0,0205}
3
h
d
(
3
)
L
P
=
sin
(
3
×
1
,
6755
)
3
π
=
−
0
,
1009
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(3)_{LP}=\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle 3\times 1,6755\right)}{\scriptstyle 3\textstyle \pi }}\scriptstyle =-0,1009}
h
(
3
)
L
P
=
w
(
3
)
×
h
d
(
3
)
L
P
=
0
,
3100
×
−
0
,
1009
=
−
0
,
0313
{\displaystyle \scriptstyle h(3)_{LP}=w(3)\times h_{d}(3)_{LP}=0,3100\times -0,1009=-0,0313}
4
h
d
(
4
)
L
P
=
sin
(
4
×
1
,
6755
)
4
π
=
0
,
0324
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(4)_{LP}=\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle 4\times 1,6755\right)}{\scriptstyle 4\textstyle \pi }}\scriptstyle =0,0324}
h
(
4
)
L
P
=
w
(
4
)
×
h
d
(
4
)
L
P
=
0
,
1077
×
0
,
0324
=
0
,
0035
{\displaystyle \scriptstyle h(4)_{LP}=w(4)\times h_{d}(4)_{LP}=0,1077\times 0,0324=0,0035}
f
c
=
f
p
−
Δ
F
/
2
=
20000
H
z
/
48000
H
z
−
0
,
3667
/
2
=
0
,
2333
{\displaystyle f_{c}=f_{p}-\Delta F/2=20000Hz/48000Hz-0,3667/2=0,2333}
ω
c
=
2
π
f
c
=
1
,
4661
{\displaystyle \omega _{c}=2\pi f_{c}=1,4661}
Recuerdese que para efectos de identificación:
h
(
n
)
→
h
(
n
)
H
P
{\displaystyle \scriptstyle h(n)\;\rightarrow \;h(n)_{HP}}
h
d
(
n
)
→
h
d
(
n
)
H
P
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(n)\;\rightarrow \;h_{d}(n)_{HP}}
n
{\displaystyle n}
h
d
(
n
)
H
P
=
−
2
f
c
sin
(
n
×
ω
c
)
n
ω
c
=
−
sin
(
n
×
ω
c
)
n
π
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(n)_{HP}=-2\textstyle f_{c}{\frac {\sin \scriptstyle \left(n\times \omega _{c}\right)}{n\omega _{c}}}=\scriptstyle -\textstyle {\frac {\sin \left(n\times \omega _{c}\right)}{n\pi }}}
h
(
n
)
H
P
=
w
(
n
)
×
h
d
(
n
)
H
P
{\displaystyle \scriptstyle h(n)_{HP}=w(n)\times h_{d}(n)_{HP}}
-4
h
d
(
−
4
)
H
P
=
−
sin
(
−
4
×
1
,
4661
)
−
4
π
=
0
,
0324
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-4)_{HP}=-\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle -4\times 1,4661\right)}{\scriptstyle -4\textstyle \pi }}\scriptstyle =0,0324}
h
(
−
4
)
H
P
=
w
(
−
4
)
×
h
d
(
−
4
)
H
P
=
0
,
1077
×
0
,
0324
=
0
,
0035
{\displaystyle \scriptstyle h(-4)_{HP}=w(-4)\times h_{d}(-4)_{HP}=0,1077\times 0,0324=0,0035}
-3
h
d
(
−
3
)
H
P
=
−
sin
(
−
3
×
1
,
4661
)
−
3
π
=
0
,
1009
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-3)_{HP}=-\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle -3\times 1,4661\right)}{\scriptstyle -3\textstyle \pi }}\scriptstyle =0,1009}
h
(
−
3
)
H
P
=
w
(
−
3
)
×
h
d
(
−
3
)
H
P
=
0
,
3100
×
0
,
1009
=
0
,
0313
{\displaystyle \scriptstyle h(-3)_{HP}=w(-3)\times h_{d}(-3)_{HP}=0,3100\times 0,1009=0,0313}
-2
h
d
(
−
2
)
H
P
=
−
sin
(
−
2
×
1
,
4661
)
−
2
π
=
−
0
,
0331
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-2)_{HP}=-\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle -2\times 1,4661\right)}{\scriptstyle -2\textstyle \pi }}\scriptstyle =-0,0331}
h
(
−
2
)
H
P
=
w
(
−
2
)
×
h
d
(
−
2
)
H
P
=
0
,
6199
×
−
0
,
0331
=
−
0
,
0205
{\displaystyle \scriptstyle h(-2)_{HP}=w(-2)\times h_{d}(-2)_{HP}=0,6199\times -0,0331=-0,0205}
-1
h
d
(
−
1
)
H
P
=
−
sin
(
−
1
×
1
,
4661
)
−
1
π
=
−
0
,
3166
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-1)_{HP}=-\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle -1\times 1,4661\right)}{\scriptstyle -1\textstyle \pi }}\scriptstyle =-0,3166}
h
(
−
1
)
H
P
=
w
(
−
2
)
×
h
d
(
−
1
)
H
P
=
0
,
8924
×
−
0
,
3166
=
−
0
,
2825
{\displaystyle \scriptstyle h(-1)_{HP}=w(-2)\times h_{d}(-1)_{HP}=0,8924\times -0,3166=-0,2825}
0
h
d
(
0
)
H
P
=
1
−
2
×
f
c
=
1
−
2
×
0
,
2333
=
0
,
5334
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(0)_{HP}=1-2\times f_{c}=1-2\times 0,2333=0,5334}
h
(
0
)
H
P
=
w
(
0
)
×
h
d
(
0
)
H
P
=
1
,
0000
×
0
,
5334
=
0
,
5334
{\displaystyle \scriptstyle h(0)_{HP}=w(0)\times h_{d}(0)_{HP}=1,0000\times 0,5334=0,5334}
1
h
d
(
1
)
H
P
=
−
sin
(
1
×
1
,
4661
)
1
π
=
−
0
,
3166
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(1)_{HP}=-\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle 1\times 1,4661\right)}{\scriptstyle 1\textstyle \pi }}\scriptstyle =-0,3166}
h
(
1
)
H
P
=
w
(
1
)
×
h
d
(
1
)
H
P
=
0
,
8924
×
−
0
,
3166
=
−
0
,
2825
{\displaystyle \scriptstyle h(1)_{HP}=w(1)\times h_{d}(1)_{HP}=0,8924\times -0,3166=-0,2825}
2
h
d
(
2
)
H
P
=
−
sin
(
2
×
1
,
4661
)
2
π
=
−
0
,
0331
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(2)_{HP}=-\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle 2\times 1,4661\right)}{\scriptstyle 2\textstyle \pi }}\scriptstyle =-0,0331}
h
(
2
)
H
P
=
w
(
2
)
×
h
d
(
2
)
H
P
=
0
,
6199
×
−
0
,
0331
=
−
0
,
0205
{\displaystyle \scriptstyle h(2)_{HP}=w(2)\times h_{d}(2)_{HP}=0,6199\times -0,0331=-0,0205}
3
h
d
(
3
)
H
P
=
−
sin
(
3
×
1
,
4661
)
3
π
=
0
,
1009
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(3)_{HP}=-\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle 3\times 1,4661\right)}{\scriptstyle 3\textstyle \pi }}\scriptstyle =0,1009}
h
(
3
)
H
P
=
w
(
3
)
×
h
d
(
3
)
H
P
=
0
,
3100
×
0
,
1009
=
0
,
0313
{\displaystyle \scriptstyle h(3)_{HP}=w(3)\times h_{d}(3)_{HP}=0,3100\times 0,1009=0,0313}
4
h
d
(
4
)
H
P
=
−
sin
(
4
×
1
,
4661
)
4
π
=
0
,
0324
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(4)_{HP}=-\textstyle {\frac {\sin \left(\scriptstyle 4\times 1,4661\right)}{\scriptstyle 4\textstyle \pi }}\scriptstyle =0,0324}
h
(
4
)
H
P
=
w
(
4
)
×
h
d
(
4
)
H
P
=
0
,
1077
×
0
,
0324
=
0
,
0035
{\displaystyle \scriptstyle h(4)_{HP}=w(4)\times h_{d}(4)_{HP}=0,1077\times 0,0324=0,0035}
f
b
=
f
b
p
−
Δ
F
/
2
=
10000
H
z
/
48000
H
z
−
0
,
3667
/
2
=
0
,
0250
{\displaystyle f_{b}=f_{bp}-\Delta F/2=10000Hz/48000Hz-0,3667/2=0,0250}
ω
b
=
2
π
f
b
=
0
,
1571
{\displaystyle \omega _{b}=2\pi f_{b}=0,1571}
f
a
=
f
a
p
+
Δ
F
/
2
=
14000
H
z
/
48000
H
z
+
0
,
367
/
2
=
0
,
4750
{\displaystyle f_{a}=f_{ap}+\Delta F/2=14000Hz/48000Hz+0,367/2=0,4750}
ω
a
=
2
π
f
a
=
2
,
9845
{\displaystyle \omega _{a}=2\pi f_{a}=2,9845}
Recuerdese que para efectos de identificación:
h
(
n
)
→
h
(
n
)
B
P
{\displaystyle \scriptstyle h(n)\;\rightarrow \;h(n)_{BP}}
h
d
(
n
)
→
h
d
(
n
)
B
P
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(n)\;\rightarrow \;h_{d}(n)_{BP}}
n
{\displaystyle n}
h
d
(
n
)
B
P
=
2
f
a
sin
(
n
×
ω
a
)
n
ω
a
−
2
f
b
sin
(
n
×
ω
b
)
n
ω
b
=
sin
(
n
×
ω
a
)
−
sin
(
n
×
ω
b
)
n
π
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(n)_{BP}=2\textstyle f_{a}{\frac {\sin \scriptstyle \left(n\times \omega _{a}\right)}{n\omega _{a}}}\scriptstyle -2\textstyle f_{b}{\frac {\sin \scriptstyle \left(n\times \omega _{b}\right)}{n\omega _{b}}}\scriptstyle =\textstyle {\frac {\sin \left(n\times \omega _{a}\right)-\sin \left(n\times \omega _{b}\right)}{n\pi }}}
h
(
n
)
B
P
=
w
(
n
)
×
h
d
(
n
)
B
P
{\displaystyle \scriptstyle h(n)_{BP}=w(n)\times h_{d}(n)_{BP}}
-4
h
d
(
−
4
)
B
P
=
sin
(
−
4
×
2
,
9845
)
−
sin
(
−
4
×
0
,
1571
)
−
4
π
=
−
0
,
0935
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-4)_{BP}=\textstyle {\frac {\sin \left(-4\times 2,9845\right)-\sin \left(-4\times 0,1571\right)}{-4\pi }}\scriptstyle =-0,0935}
h
(
−
4
)
B
P
=
w
(
−
4
)
×
h
d
(
−
4
)
B
P
=
0
,
1077
×
−
0
,
0935
=
−
0
,
0101
{\displaystyle \scriptstyle h(-4)_{BP}=w(-4)\times h_{d}(-4)_{BP}=0,1077\times -0,0935=-0,0101}
-3
h
d
(
−
3
)
B
P
=
sin
(
−
3
×
2
,
9845
)
−
sin
(
−
3
×
0
,
1571
)
−
3
π
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-3)_{BP}=\textstyle {\frac {\sin \left(-3\times 2,9845\right)-\sin \left(-3\times 0,1571\right)}{-3\pi }}\scriptstyle =0,0000}
h
(
−
3
)
B
P
=
w
(
−
3
)
×
h
d
(
−
3
)
B
P
=
0
,
3100
×
0
,
0000
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h(-3)_{BP}=w(-3)\times h_{d}(-3)_{BP}=0,3100\times 0,0000=0,0000}
-2
h
d
(
−
2
)
B
P
=
sin
(
−
2
×
2
,
9845
)
−
sin
(
−
2
×
0
,
1571
)
−
2
π
=
−
0
,
0984
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-2)_{BP}=\textstyle {\frac {\sin \left(-2\times 2,9845\right)-\sin \left(-2\times 0,1571\right)}{-2\pi }}\scriptstyle =-0,0984}
h
(
−
2
)
B
P
=
w
(
−
2
)
×
h
d
(
−
2
)
B
P
=
0
,
6199
×
−
0
,
0984
=
−
0
,
0601
{\displaystyle \scriptstyle h(-2)_{BP}=w(-2)\times h_{d}(-2)_{BP}=0,6199\times -0,0984=-0,0601}
-1
h
d
(
−
1
)
B
P
=
sin
(
−
1
×
2
,
9845
)
−
sin
(
−
1
×
0
,
1571
)
−
1
π
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-1)_{BP}=\textstyle {\frac {\sin \left(-1\times 2,9845\right)-\sin \left(-1\times 0,1571\right)}{-1\pi }}\scriptstyle =0,0000}
h
(
−
1
)
B
P
=
w
(
−
2
)
×
h
d
(
−
1
)
B
P
=
0
,
8924
×
0
,
0000
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h(-1)_{BP}=w(-2)\times h_{d}(-1)_{BP}=0,8924\times 0,0000=0,0000}
0
h
d
(
0
)
B
P
=
2
×
(
f
a
−
f
b
)
=
2
×
(
0
,
4750
−
0
,
0250
)
=
0
,
9000
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(0)_{BP}=2\times (f_{a}-f_{b})=2\times (0,4750-0,0250)=0,9000}
h
(
0
)
B
P
=
w
(
0
)
×
h
d
(
0
)
B
P
=
1
,
0000
×
0
,
9000
=
0
,
9000
{\displaystyle \scriptstyle h(0)_{BP}=w(0)\times h_{d}(0)_{BP}=1,0000\times 0,9000=0,9000}
1
h
d
(
1
)
B
P
=
sin
(
1
×
2
,
9845
)
−
sin
(
1
×
0
,
1571
)
1
π
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(1)_{BP}=\textstyle {\frac {\sin \left(1\times 2,9845\right)-\sin \left(1\times 0,1571\right)}{1\pi }}\scriptstyle =0,0000}
h
(
1
)
B
P
=
w
(
1
)
×
h
d
(
1
)
B
P
=
0
,
8924
×
0
,
0000
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h(1)_{BP}=w(1)\times h_{d}(1)_{BP}=0,8924\times 0,0000=0,0000}
2
h
d
(
2
)
B
P
=
sin
(
2
×
2
,
9845
)
−
sin
(
2
×
0
,
1571
)
2
π
=
−
0
,
0984
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(2)_{BP}=\textstyle {\frac {\sin \left(2\times 2,9845\right)-\sin \left(2\times 0,1571\right)}{2\pi }}\scriptstyle =-0,0984}
h
(
2
)
B
P
=
w
(
2
)
×
h
d
(
2
)
B
P
=
0
,
6199
×
−
0
,
0984
=
−
0
,
0601
{\displaystyle \scriptstyle h(2)_{BP}=w(2)\times h_{d}(2)_{BP}=0,6199\times -0,0984=-0,0601}
3
h
d
(
3
)
B
P
=
sin
(
3
×
2
,
9845
)
−
sin
(
3
×
0
,
1571
)
3
π
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(3)_{BP}=\textstyle {\frac {\sin \left(3\times 2,9845\right)-\sin \left(3\times 0,1571\right)}{3\pi }}\scriptstyle =0,0000}
h
(
3
)
B
P
=
w
(
3
)
×
h
d
(
3
)
B
P
=
0
,
3100
×
0
,
0000
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h(3)_{BP}=w(3)\times h_{d}(3)_{BP}=0,3100\times 0,0000=0,0000}
4
h
d
(
4
)
B
P
=
sin
(
4
×
2
,
9845
)
−
sin
(
4
×
0
,
1571
)
4
π
=
−
0
,
0935
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(4)_{BP}=\textstyle {\frac {\sin \left(4\times 2,9845\right)-\sin \left(4\times 0,1571\right)}{4\pi }}\scriptstyle =-0,0935}
h
(
4
)
B
P
=
w
(
4
)
×
h
d
(
4
)
B
P
=
0
,
1077
×
−
0
,
0935
=
−
0
,
0101
{\displaystyle \scriptstyle h(4)_{BP}=w(4)\times h_{d}(4)_{BP}=0,1077\times -0,0935=-0,0101}
f
b
=
f
b
p
+
Δ
F
/
2
=
2000
H
z
/
48000
H
z
+
0
,
3667
/
2
=
0
,
2250
{\displaystyle f_{b}=f_{bp}+\Delta F/2=2000Hz/48000Hz+0,3667/2=0,2250}
ω
b
=
2
π
f
b
=
1
,
4137
{\displaystyle \omega _{b}=2\pi f_{b}=1,4137}
f
a
=
f
a
p
−
Δ
F
/
2
=
22000
H
z
/
48000
H
z
−
0
,
3667
/
2
=
0
,
2750
{\displaystyle f_{a}=f_{ap}-\Delta F/2=22000Hz/48000Hz-0,3667/2=0,2750}
ω
a
=
2
π
f
a
=
1
,
7279
{\displaystyle \omega _{a}=2\pi f_{a}=1,7279}
Recuerdese que para efectos de identificación:
h
(
n
)
→
h
(
n
)
B
S
{\displaystyle \scriptstyle h(n)\;\rightarrow \;h(n)_{BS}}
h
d
(
n
)
→
h
d
(
n
)
B
S
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(n)\;\rightarrow \;h_{d}(n)_{BS}}
n
{\displaystyle n}
h
d
(
n
)
B
S
=
2
f
b
sin
(
n
×
ω
b
)
n
ω
b
−
2
f
a
sin
(
n
×
ω
a
)
n
ω
a
=
sin
(
n
×
ω
b
)
−
sin
(
n
×
ω
a
)
n
π
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(n)_{BS}=2\textstyle f_{b}{\frac {\sin \scriptstyle \left(n\times \omega _{b}\right)}{n\omega _{b}}}\scriptstyle -2\textstyle f_{a}{\frac {\sin \scriptstyle \left(n\times \omega _{a}\right)}{n\omega _{a}}}\scriptstyle =\textstyle {\frac {\sin \left(n\times \omega _{b}\right)-\sin \left(n\times \omega _{a}\right)}{n\pi }}}
h
(
n
)
B
S
=
w
(
n
)
×
h
d
(
n
)
B
S
{\displaystyle \scriptstyle h(n)_{BS}=w(n)\times h_{d}(n)_{BS}}
-4
h
d
(
−
4
)
B
S
=
sin
(
−
4
×
1
,
4137
)
−
sin
(
−
4
×
1
,
7279
)
−
4
π
=
−
0
,
0935
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-4)_{BS}=\textstyle {\frac {\sin \left(-4\times 1,4137\right)-\sin \left(-4\times 1,7279\right)}{-4\pi }}\scriptstyle =-0,0935}
h
(
−
4
)
B
S
=
w
(
−
4
)
×
h
d
(
−
4
)
B
S
=
0
,
1077
×
−
0
,
0935
=
−
0
,
0101
{\displaystyle \scriptstyle h(-4)_{BS}=w(-4)\times h_{d}(-4)_{BS}=0,1077\times -0,0935=-0,0101}
-3
h
d
(
−
3
)
B
S
=
sin
(
−
3
×
1
,
4137
)
−
sin
(
−
3
×
1
,
7279
)
−
3
π
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-3)_{BS}=\textstyle {\frac {\sin \left(-3\times 1,4137\right)-\sin \left(-3\times 1,7279\right)}{-3\pi }}\scriptstyle =0,0000}
h
(
−
3
)
B
S
=
w
(
−
3
)
×
h
d
(
−
3
)
B
S
=
0
,
3100
×
0
,
0000
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h(-3)_{BS}=w(-3)\times h_{d}(-3)_{BS}=0,3100\times 0,0000=0,0000}
-2
h
d
(
−
2
)
B
S
=
sin
(
−
2
×
1
,
4137
)
−
sin
(
−
2
×
1
,
7279
)
−
2
π
=
0
,
0984
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-2)_{BS}=\textstyle {\frac {\sin \left(-2\times 1,4137\right)-\sin \left(-2\times 1,7279\right)}{-2\pi }}\scriptstyle =0,0984}
h
(
−
2
)
B
S
=
w
(
−
2
)
×
h
d
(
−
2
)
B
S
=
0
,
6199
×
0
,
0984
=
0
,
0601
{\displaystyle \scriptstyle h(-2)_{BS}=w(-2)\times h_{d}(-2)_{BS}=0,6199\times 0,0984=0,0601}
-1
h
d
(
−
1
)
B
S
=
sin
(
−
1
×
1
,
4137
)
−
sin
(
−
1
×
1
,
7279
)
−
1
π
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(-1)_{BS}=\textstyle {\frac {\sin \left(-1\times 1,4137\right)-\sin \left(-1\times 1,7279\right)}{-1\pi }}\scriptstyle =0,0000}
h
(
−
1
)
B
S
=
w
(
−
2
)
×
h
d
(
−
1
)
B
S
=
0
,
8924
×
0
,
0000
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h(-1)_{BS}=w(-2)\times h_{d}(-1)_{BS}=0,8924\times 0,0000=0,0000}
0
h
d
(
0
)
B
S
=
1
−
2
×
(
f
a
−
f
b
)
=
1
−
2
×
(
1
,
7279
−
1
,
4137
)
=
0
,
9000
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(0)_{BS}=1-2\times (f_{a}-f_{b})=1-2\times (1,7279-1,4137)=0,9000}
h
(
0
)
B
S
=
w
(
0
)
×
h
d
(
0
)
B
S
=
1
,
0000
×
0
,
9000
=
0
,
9000
{\displaystyle \scriptstyle h(0)_{BS}=w(0)\times h_{d}(0)_{BS}=1,0000\times 0,9000=0,9000}
1
h
d
(
1
)
B
S
=
sin
(
1
×
1
,
4137
)
−
sin
(
1
×
1
,
7279
)
1
π
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(1)_{BS}=\textstyle {\frac {\sin \left(1\times 1,4137\right)-\sin \left(1\times 1,7279\right)}{1\pi }}\scriptstyle =0,0000}
h
(
1
)
B
S
=
w
(
1
)
×
h
d
(
1
)
B
S
=
0
,
8924
×
0
,
0000
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h(1)_{BS}=w(1)\times h_{d}(1)_{BS}=0,8924\times 0,0000=0,0000}
2
h
d
(
2
)
B
S
=
sin
(
2
×
1
,
4137
)
−
sin
(
2
×
1
,
7279
)
2
π
=
0
,
0984
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(2)_{BS}=\textstyle {\frac {\sin \left(2\times 1,4137\right)-\sin \left(2\times 1,7279\right)}{2\pi }}\scriptstyle =0,0984}
h
(
2
)
B
S
=
w
(
2
)
×
h
d
(
2
)
B
S
=
0
,
6199
×
0
,
0984
=
0
,
0601
{\displaystyle \scriptstyle h(2)_{BS}=w(2)\times h_{d}(2)_{BS}=0,6199\times 0,0984=0,0601}
3
h
d
(
3
)
B
S
=
sin
(
3
×
1
,
4137
)
−
sin
(
3
×
1
,
7279
)
3
π
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(3)_{BS}=\textstyle {\frac {\sin \left(3\times 1,4137\right)-\sin \left(3\times 1,7279\right)}{3\pi }}\scriptstyle =0,0000}
h
(
3
)
B
S
=
w
(
3
)
×
h
d
(
3
)
B
S
=
0
,
3100
×
0
,
0000
=
0
,
0000
{\displaystyle \scriptstyle h(3)_{BS}=w(3)\times h_{d}(3)_{BS}=0,3100\times 0,0000=0,0000}
4
h
d
(
4
)
B
S
=
sin
(
4
×
1
,
4137
)
−
sin
(
4
×
1
,
7279
)
4
π
=
−
0
,
0935
{\displaystyle \scriptstyle h_{d}(4)_{BS}=\textstyle {\frac {\sin \left(4\times 1,4137\right)-\sin \left(4\times 1,7279\right)}{4\pi }}\scriptstyle =-0,0935}
h
(
4
)
B
S
=
w
(
4
)
×
h
d
(
4
)
B
S
=
0
,
1077
×
−
0
,
0935
=
−
0
,
0101
{\displaystyle \scriptstyle h(4)_{BS}=w(4)\times h_{d}(4)_{BS}=0,1077\times -0,0935=-0,0101}
En todo los procedimientos el valor de
n
{\displaystyle n}
ha comenzado con valores negativos como
−
(
N
−
1
)
/
2
{\displaystyle -(N-1)/2}
y finalizado en
(
N
−
1
)
/
2
{\displaystyle (N-1)/2}
, pero para el cálculo de
y
(
n
)
{\displaystyle y(n)}
el valor de
n
{\displaystyle n}
en
h
(
n
)
{\displaystyle h(n)}
debe ser
0
≤
n
≤
(
N
−
1
)
{\displaystyle \scriptstyle 0\leq n\leq (N-1)}
. Para lo cual basta con sumarle
(
N
−
1
)
/
2
{\displaystyle (N-1)/2}
a
n
{\displaystyle n}
.
Si se tiene en cuenta para el ejemplo anterior que
N
=
9
→
(
N
−
1
)
/
2
=
4
{\displaystyle \scriptstyle N=9\rightarrow (N-1)/2=4}
entonces:
Para el filtro PasaBajo:
h
(
n
)
=
h
(
n
+
(
N
−
1
)
/
2
)
L
P
=
h
(
n
+
4
)
L
P
{\displaystyle \scriptstyle h(n)=h(n+(N-1)/2)_{LP}=h(n+4)_{LP}}
Para el filtro PasaAlto:
h
(
n
)
=
h
(
n
+
(
N
−
1
)
/
2
)
H
P
=
h
(
n
+
4
)
H
P
{\displaystyle \scriptstyle h(n)=h(n+(N-1)/2)_{HP}=h(n+4)_{HP}}
Para el filtro PasaBanda:
h
(
n
)
=
h
(
n
+
(
N
−
1
)
/
2
)
B
P
=
h
(
n
+
4
)
B
P
{\displaystyle \scriptstyle h(n)=h(n+(N-1)/2)_{BP}=h(n+4)_{BP}}
Para el filtro ParaBanda:
h
(
n
)
=
h
(
n
+
(
N
−
1
)
/
2
)
S
B
=
h
(
n
+
4
)
S
B
{\displaystyle \scriptstyle h(n)=h(n+(N-1)/2)_{SB}=h(n+4)_{SB}}