Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

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La dimensión de Hausdorff o dimensión de Hausdorff-Besicovitch es una generalización métrica del concepto de dimensión de un espacio topológico, que permite definir una dimensión fraccionaria (no entera) para un objeto fractal.

Ejemplo de estimación de la dimensión de Hausdorff-Besicovitch para la costa de gran Bretaña

La medida fue introducida hacia 1917 por Felix Hausdorff, aunque fue estudiada mucho más extensivamente por Abram Besicovitch, a quien se deben la mayoría de los resultados teóricos y teoremas concernientes tanto a la medida de Hausdorff como a la dimensión fractal.

Medida de Hausdorff

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Contenido de Hausdorff de un conjunto: para valores de la dimensión inferiores a la dimensión de Haussdorff el contenido de Hausdorff es infinito, para valores superiores el contenido es cero. Solo para un valor igual a la dimensión de Hausdorff el contenido es una cantidad positiva y finita.

Sea   un conjunto no vacío. El diámetro de   se define como

 

Sea ahora   un conjunto arbitrario de índices. La colección   se denomina  -recubrimiento de   si:

  •  ; y
  •  , para cada  .

Sea   y   un número no negativo. Para cualquier   se define:

 

en donde el ínfimo se toma sobre todos los  -recubrimientos numerables de  . Es posible verificar que   es de hecho una medida exterior en  .

La medida exterior  -dimensional de Hausdorff del conjunto   se define como el valor:

 

Este límite existe, sin embargo, como   crece cuando   decrece, puede ser infinito.

Es fácil ver que   es una medida exterior, así que, por el Teorema de Carathéodory, la restricción de   a los conjuntos  -medibles es de hecho una medida, llamada medida s-dimensional de Hausdorff.

La medida de Hausdorff generaliza la idea de longitud, área y volumen. La medida de dimensión cero cuenta el número de puntos en un conjuntos si el conjunto es finito, o es infinita si el conjunto lo es. La medida unidimensional mide la longitud de una curva suave en  . La medida bidimensional de un conjunto en   es proporcional a su área y análogamente la medida tridimensional de un conjunto en   es proporcional a su volumen.

Para todo conjunto   existe   con la propiedad:  

Un gráfico de   en función de   (ver figura) muestra que existe un valor crítico de   en el cual   cambia súbitamente de   a  .

El comportamiento de   puede explicarse de la siguiente manera: Se cubre el conjunto   con infinitos conjuntos de diámetro pequeño   y se calcula la suma de dichos diámetros elevados a la  -ésima potencia. Si   es pequeño, dichas potencias tienden a   lo cual produce que la suma diverja. Si   es grande, las  -ésimas potencias tienen a cero y la suma tiende a anularse.

Dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch

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La dimensión de Hausdorff se define como:

 

Relación entre dimensiones fractales

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La dimensión de Hausdorff-Besicovitch siendo similar numéricamente a otras dimensiones fractales, en general resulta no mayor que todas ellas, siendo para la mayoría de fractales clásicos coincidente con el resto de dimensiones fractales (generalmente más sencillas de calcular). De hecho ha podido demostrarse la siguiente cadena de desigualdades:

 

Donde:

  es la dimensión topológica que es siempre un entero.
  es la dimensión de Hausdorff-Besicovitch que para los fractales clásicos suele ser un número irracional.
  es la dimensión de Minkowski-Bouligand o de conteo de cajas, a veces llamada dimensión de Hausdorff.
  es la dimensión de empaquetado.
  es la dimensión del espacio euclídeo que contiene al fractal.

La primera desigualdad   se conoce como desigualdad de Szpilrajn y es uno de los principales resultados de la geometría fractal.[1]

Referencias

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  1. W. Hurewicz & H. Wallman, Dimension Theory, 1941, Chapter VII.

Bibliografía

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  • Falconer K., "The Geometry of Fractal Sets" (Cambridge University Press 1985)
  • Falconer K., "Fractal Geometry: mathematical foundations and applications" (2.ª ed., Wiley 2003)
  • Helmberg G., "Getting Acquainted with Fractals"