Una función se llama implícita cuando está definida mediante una ecuación de la forma
f
(
x
,
y
)
=
0.
{\displaystyle f(x,\,y)=0.}
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
x e y :
y
3
+
y
2
+
5
x
y
+
x
2
+
x
+
y
=
0
{\displaystyle y^{3}+y^{2}+5xy+x^{2}+x+y=0\,}
Para derivar una función implícita se usa la regla de la cadena ; en el caso de la variable independiente, sin dificultad alguna, se deriva directamente; al derivar la variable dependiente se la considera como una función que a su vez depende de la variable independiente:
Dada una función
F
(
x
,
y
)
{\displaystyle F(x,y)\,}
y respecto de x :
d
y
d
x
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}
Si consideramos
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f\left(x\right)}
x y
G
(
y
)
{\displaystyle G\left(y\right)}
y , dado que
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f\left(x\right)}
D
x
(
G
(
y
)
)
=
D
x
(
G
(
f
(
x
)
)
)
=
G
′
(
f
(
x
)
)
(
f
′
(
x
)
)
{\displaystyle D_{x}\left(G\left(y\right)\right)=D_{x}\left(G\left(f\left(x\right)\right)\right)=G'\left(f\left(x\right)\right)\left(f'\left(x\right)\right)}
Obtener la derivada dee:
6
x
2
y
+
5
y
3
+
3
x
2
=
12
−
x
2
y
2
{\displaystyle 6x^{2}y+5y^{3}+3x^{2}=12-x^{2}y^{2}}
El término
6
x
2
y
{\displaystyle 6x^{2}y}
6
x
2
{\displaystyle 6x^{2}}
y
{\displaystyle y}
D
x
(
6
x
2
y
)
=
(
12
x
)
⋅
y
+
(
6
x
2
)
⋅
(
d
y
d
x
)
{\displaystyle D_{x}\left(6x^{2}y\right)=\left(12x\right)\cdot y+\left(6x^{2}\right)\cdot \left({\frac {dy}{dx}}\right)}
El término
5
y
3
{\displaystyle 5y^{3}}
D
x
(
5
y
3
)
=
15
y
2
⋅
d
y
d
x
{\displaystyle D_{x}\left(5y^{3}\right)=15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}}
El término
3
x
2
{\displaystyle 3x^{2}}
D
x
(
3
x
2
)
=
6
x
{\displaystyle D_{x}\left(3x^{2}\right)=6x\,}
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y , tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
D
x
(
12
)
=
0
{\displaystyle D_{x}\left(12\right)=0\,}
El término
x
2
y
2
{\displaystyle x^{2}y^{2}}
D
x
(
x
2
y
2
)
=
2
x
y
2
+
x
2
⋅
(
2
y
⋅
d
y
d
x
)
{\displaystyle D_{x}\left(x^{2}y^{2}\right)=2xy^{2}+x^{2}\cdot \left(2y\cdot {\frac {dy}{dx}}\right)}
Al unir todos los términos se obtiene:
12
x
y
+
6
x
2
⋅
d
y
d
x
+
15
y
2
⋅
d
y
d
x
+
6
x
=
−
2
x
y
2
−
2
x
2
y
⋅
d
y
d
x
{\displaystyle 12xy+6x^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+6x=-2xy^{2}-2x^{2}y\cdot {\frac {dy}{dx}}}
Ordenando:
6
x
2
⋅
d
y
d
x
+
15
y
2
⋅
d
y
d
x
+
2
x
2
y
⋅
d
y
d
x
=
−
12
x
y
−
6
x
−
2
x
y
2
{\displaystyle 6x^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+2x^{2}y\cdot {\frac {dy}{dx}}=-12xy-6x-2xy^{2}}
Factorizando respecto a (
d
y
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
(
6
x
2
+
15
y
2
+
2
x
2
y
)
⋅
d
y
d
x
=
−
(
12
x
y
+
6
x
+
2
x
y
2
)
{\displaystyle \left(6x^{2}+15y^{2}+2x^{2}y\right)\cdot {\frac {dy}{dx}}=-\left(12xy+6x+2xy^{2}\right)}
Finalmente despejando
d
y
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
d
y
d
x
=
−
12
x
y
+
6
x
+
2
x
y
2
6
x
2
+
15
y
2
+
2
x
2
y
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {12xy+6x+2xy^{2}}{6x^{2}+15y^{2}+2x^{2}y}}}
John B. FRALEIGH. Cálculo con geometría analítica. Fondo Educativo Interamericano, S.A. México D.F., 1984 ISBN 968-50-0127-8 
Datos: Q1196523