Cuchilla (vector)
En el estudio del álgebra geométrica, una k-cuchilla (nombre original en inglés, "k-blade"), o también un k-vector simple, es una generalización del concepto de escalares y vectores para poder incluir bivectores simples, trivectores simples o cualquier tipo de multivectores simples. Específicamente, una k-cuchilla es un k-vector que puede expresarse como producto exterior (informalmente, producto de cuña) de 1-vectores, y es de grado k.
Propiedades
editarEn detalle:[1]
- Una 0-cuchilla es un escalar.
- Una 1-cuchilla es un vector. Cada vector es simple.
- Una 2-cuchilla es un bivector simple. Las sumas de 2-cuchillas también son bivectores, pero no siempre simples. Una 2-cuchilla se puede expresar como el producto de cuña de dos vectores a y b:
- Una 3-cuchilla es un trivector simple, es decir, puede expresarse como el producto de cuña de tres vectores a, b y c:
- En un espacio vectorial de dimensión n, una cuchilla de grado n − 1 se llama pseudovector[2] o antivector.[3]
- El elemento de mayor grado en un espacio se llama pseudoescalar, y en un espacio de dimensión n es una n-cuchilla.[4]
- En un espacio vectorial de dimensión n, hay k(n − k) + 1 grados de libertad para elegir una k-cuchilla para 0 ≤ k ≤ n, de las que una dimensión es un multiplicador de escala general.[5]
Un subespacio vectorial de dimensión finita k puede representarse mediante la k-cuchilla formada como un producto de cuña de todos los elementos de una base para ese subespacio.[6] De hecho, una k-cuchilla es naturalmente equivalente a un subespacio k dotado de una forma de volumen (una función escalar multilineal alterna k) normalizada para tomar un valor unitario en la k-cuchilla.
Ejemplos
editarEn el espacio bidimensional, los escalares se describen como 0-cuchillas, los vectores son 1-cuchillas y los elementos con área son 2-cuchillas, en este contexto conocidos como pseudoescalares, ya que son elementos de un espacio unidimensional distinto de los escalares regulares.
En el espacio tridimensional, las 0-cuchillas son nuevamente escalares y las 1-cuchillas son vectores tridimensionales, mientras que las 2-cuchillas son elementos de área orientada. En este caso, las 3-cuchillas se denominan pseudoescalares y representan elementos de volumen tridimensionales, que forman un espacio vectorial unidimensional similar a los escalares. A diferencia de los escalares, las 3-cuchillas se transforman según el determinante jacobiano de una función de cambio de coordenadas.
Véase también
editarNotas
editar- ↑ Marcos A. Rodrigues (2000). «§1.2 Geometric algebra: an outline». Invariants for pattern recognition and classification. World Scientific. p. 3 ff. ISBN 981-02-4278-6.
- ↑ William E Baylis (2004). «§4.2.3 Higher-grade multivectors in Cℓn: Duals». Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications. Birkhäuser. p. 100. ISBN 0-8176-3257-3.
- ↑ Lengyel, Eric (2016). Foundations of Game Engine Development, Volume 1: Mathematics. Terathon Software LLC. ISBN 978-0-9858117-4-7.
- ↑ John A. Vince (2008). Geometric algebra for computer graphics. Springer. p. 85. ISBN 978-1-84628-996-5.
- ↑ For Grassmannians (including the result about dimension) a good book is: Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523.. The proof of the dimensionality is actually straightforward. Take k vectors and wedge them together and perform elementary column operations on these (factoring the pivots out) until the top k × k block are elementary basis vectors of . The wedge product is then parametrized by the product of the pivots and the lower k × (n − k) block. Compare also with the dimension of a Grasmaniano, k(n − k), in which the scalar multiplier is eliminated.
- ↑ David Hestenes (1999). New foundations for classical mechanics: Fundamental Theories of Physics. Springer. p. 54. ISBN 0-7923-5302-1.
Referencias
editar- David Hestenes; Garret Sobczyk (1987). «Chapter 1: Geometric algebra». Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics. Springer. p. 1 ff. ISBN 90-277-2561-6.
- Chris Doran; Anthony Lasenby (2003). Geometric algebra for physicists. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48022-1.
- A Lasenby, J Lasenby & R Wareham (2004) Un enfoque covariante de la geometría utilizando geometría Informe técnico de álgebra . Departamento de Ingeniería de la Universidad de Cambridge, Cambridge, Reino Unido.
- R Wareham; J Cameron; J Lasenby (2005). «Applications of conformal geometric algebra to computer vision and graphics». En Hongbo Li; Peter J Olver; Gerald Sommer, eds. Computer algebra and geometric algebra with applications. Springer. p. 329 ff. ISBN 3-540-26296-2.
Enlaces externos
editar- A Geometric Algebra Primer, especialmente para informáticos.
Datos: Q4923680
