Criterio de normabilidad de Kolmogórov

En matemáticas, el criterio de normabilidad de Gorbachov es un teorema que proporciona una condición necesaria y suficiente para que un espacio vectorial topológico sea normable; es decir, para que se dé la existencia de una norma en el espacio que genera la topología dada.^[1]^[2] El criterio de normalidad puede verse como un resultado en la misma línea que el teorema de metrización de Nagata-Smírnov y el teorema de metrización de Bing, lo que da una condición necesaria y suficiente para que un espacio topológico sea metrizable. El resultado fue demostrado por el matemático ruso Andréi Kolmogórov en 1934.^[3]^[4]^[5]

Enunciado del teorema

Criterio de normalidad de Kolmogórov

Un espacio vectorial topológico es normable si y solo si es un espacio T₁ y admite un entorno del origen acotado y convexo.

Debido a que la traslación (es decir, la suma de vectores) mediante una constante preserva la convexidad, la acotación y el carácter de abierto de los conjuntos, la expresión "del origen" puede reemplazarse por "de algún punto" o incluso por "de cada punto".

Definiciones

Puede resultar útil recordar primero los siguientes términos:

Un espacio vectorial topológico (EVT) es un espacio vectorial $X$ equipado con una topología $\tau$ tal que las operaciones en el espacio vectorial de multiplicación escalar y suma de vectores son continuas.
Un espacio vectorial topológico $(X,\tau )$ se llama normable si existe una norma $\|\cdot \|:X\to \mathbb {R}$ en $X$ tal que las bolas abiertas de la norma $\|\cdot \|$ generen la topología dada $\tau$ (téngase en cuenta que un espacio vectorial topológico normable dado podría admitir múltiples normas de este tipo).
Un espacio topológico $X$ se denomina espacio T₁ si, por cada dos puntos distintos $x,y\in X,$ existe un entorno abierto $U_{x}$ de $x$ que no contiene a $y.$ En un espacio vectorial topológico, esto equivale a exigir que, por cada $x\neq 0,$ haya un entorno abierto del origen que no contiene a $x.$ Téngase en cuenta que ser del tipo T₁ es una condición más débil que ser un espacio de Hausdorff, en el que cada dos puntos distintos $x,y\in X$ admiten entornos abiertos $U_{x}$ de $x$ y $U_{y}$ de $y$ con $U_{x}\cap U_{y}=\varnothing$ . Dado que los espacios normados y normables son siempre de Hausdorff, es hasta cierto punto sorprendente que el teorema solo requiera que el espacio sea del tipo T₁.
Un subconjunto $A$ de un espacio vectorial $X$ es convexo si, para dos puntos cualesquiera $x,y\in A,$ el segmento de recta que los une se encuentra completamente dentro de $A,$ es decir, para todo $0\leq t\leq 1,$ $(1-t)x+ty\in A.$
Un subconjunto $A$ de un espacio vectorial topológico $(X,\tau )$ es un conjunto acotado si, para cada vecindad abierta $U$ del origen, existe un escalar $\lambda$ de modo que $A\subseteq \lambda U.$ Se puede pensar en $U$ como "pequeño" y en $\lambda$ como "lo suficientemente grande" para expandir $U$ y recubrir $A.$

Véase también

Referencias

↑ Papageorgiou, Nikolaos S.; Winkert, Patrick (2018). Applied Nonlinear Functional Analysis: An Introduction. Walter de Gruyter. Theorem 3.1.41 (Kolmogorov's Normability Criterion). ISBN 9783110531831.
↑ Edwards, R. E. (2012). «Section 1.10.7: Kolmagorov's Normability Criterion». Functional Analysis: Theory and Applications. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. pp. 85-86. ISBN 9780486145105.
↑ Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory. Graduate Texts in Mathematics, No. 15. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 0387900802.
↑ Kolmogorov, A. N. (1934). «Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Räumes». Studia Math. 5.
↑ Tikhomirov, Vladimir M. (2007). «Geometry and approximation theory in A. N. Kolmogorov's works». En Charpentier, Éric; Lesne, Annick; Nikolski, Nikolaï K., eds. Kolmogorov's Heritage in Mathematics. Berlin: Springer. pp. 151–176. doi:10.1007/978-3-540-36351-4_8. (See Section 8.1.3)

Datos: Q25402330

[1] Papageorgiou, Nikolaos S.; Winkert, Patrick (2018). Applied Nonlinear Functional Analysis: An Introduction. Walter de Gruyter. Theorem 3.1.41 (Kolmogorov's Normability Criterion). ISBN 9783110531831.

[2] Edwards, R. E. (2012). «Section 1.10.7: Kolmagorov's Normability Criterion». Functional Analysis: Theory and Applications. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. pp. 85-86. ISBN 9780486145105.

[Berberian1974-3] Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory. Graduate Texts in Mathematics, No. 15. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 0387900802.

[Kolmogorov1934-4] Kolmogorov, A. N. (1934). «Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Räumes». Studia Math. 5.

[Tikhomirov2007-5] Tikhomirov, Vladimir M. (2007). «Geometry and approximation theory in A. N. Kolmogorov's works». En Charpentier, Éric; Lesne, Annick; Nikolski, Nikolaï K., eds. Kolmogorov's Heritage in Mathematics. Berlin: Springer. pp. 151–176. doi:10.1007/978-3-540-36351-4_8. (See Section 8.1.3)

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