Corchete de Lie (campos de vectores)
En topología diferencial, dados dos campos de vectores diferenciables X e Y sobre una variedad M, se define el corchete de Lie de los campos X e Y, notado como el único campo de vectores que cumple:
![{\displaystyle [X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94470b44d283fde62130212956058ca6b727da37)
=X(Y(f))-Y(X(f))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e891badbc24d87217f06dbf9e69434c319ebb3c)
Su expresión en un sistema de coordenadas asociado una carta local será:
![{\displaystyle [X,Y]^{i}=\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}{\frac {\partial Y^{i}}{\partial x^{j}}}\right)-\left(Y^{j}{\frac {\partial X^{i}}{\partial x^{j}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa87937d383e1d930c3c8c02ca899a57eb09e8bb)
donde n es la dimensión de M.
El corchete de Lie de dos campos constituye un caso particular de una operación más general: la derivada de Lie de un tensor cualquiera a lo largo de la dirección que marque un campo X. Cuando T es un campo de vectores Y, recuperamos el corchete de Lie
- .
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af17ef64b6fa6093e1fb097a39df26d067c2cb5a)
Propiedades
editar- [.,.] es 'R-bilineal:
- ,
- ,
![{\displaystyle [\alpha X_{1}+\beta X_{2},Y]=\alpha [X_{1},Y]+\beta [X_{2},Y]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca892f818a48653c31b4cf1291a92907b28c9d1)
![{\displaystyle [X,\alpha Y_{1}+\beta Y_{2}]=\alpha [X,Y_{1}]+\beta [X,Y_{2}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3945e26907775b8279abe25744b067a8518417)
- Antisimetría:
![{\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e83000adb60191d8bf98aa44197297ce92213c45)
![{\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029c707bdbfe1f93e908a3b9c7e25af5fd0eca82)
- Para funciones f y g tenemos
- .
![{\displaystyle [fX,gY]=fg[X,Y]+fX(g)Y-gY(f)X\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ca3e32ec7f65aa21e19c10389f2fac82db85bc)
Esta última igualdad destaca que aunque el corchete sea R-bilineal, no es bilineal sobre las funciones diferenciables. Como consecuencia, el corchete no tendrá carácter tensorial, es decir, el valor del vector no solo dependerá del valor de los vectores e (no podremos definir el corchete de Lie de dos vectores), sino de los campos X e Y.
![{\displaystyle [X,Y]_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab4dd31a623ad1654ec4527c927a1ea1a7f9cd1)
Como consecuencia inmediata de la antisimetría, para cualquier campo .
![{\displaystyle [X,X]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96f040cce00a009ddf39e12baa062abfdcdb8b8)
Coeficientes de estructura
editarSi {ek} una base local de campos de vectores, podremos desarrollar el corchete de dos de sus elementos como combinación lineal de los elementos de la base:
![{\displaystyle [e_{k},e_{\ell }]=c_{k\ell }{}^{m}e_{m}\,\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c86ad296025edcd66c4ed938f5775caceb9c76a)
A las funciones se les denomina coeficientes de estructura de la base {ek}. Estos coeficientes no forman parte de un tensor.
En el caso especial en que la base esté asociada a un sistema de coordenadas {xa}, dado que los vectores básicos conmutan ( ), los coeficientes de estructura serán nulos. Las bases locales para las que se anulan estos coeficientes reciben el nombre de bases holónomas.
![{\displaystyle [\partial _{x^{a}},\partial _{x^{b}}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e329b37d1292dd4456dc481d98b2c7bc3142a48b)
En un grupo de Lie G, considerado como variedad, podemos definir un conjunto particular de campos de vectores: los campos invariantes por la izquierda. A este conjunto se le denomina álgebra de Lie de G. Dada una base de campos invariantes por la izquierda, se demuestra que los coeficientes de estructura son constantes, y reciben el nombre de constantes de estructura de G con respecto a la base .
Véase también
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Datos: Q5478310
