Convergencia en probabilidad

La convergencia en probabilidad se da cuando a medida que $n$, o el tamaño de muestra, aumenta entonces la variable aleatoria (v.a.) toma valores cercanos a una constante $c$ con mayor probabilidad. Un ejemplo sencillo de esto sería, dado una v.a. que toma 2 valores c con probabilidad $1-1/n$ y $n$ con probabilidad $1/n$. Entonces al hacer crecer n lo que ocurre es que el valor "n" de la v.a. aumenta pero su probabilidad disminuye a una velocidad de (1/n) mientras que la probabilidad de que la v.a. tome el valor c va tendiendo a 1.

La Ley de los grandes números asegura la convergencia de la media de nuestra población al valor real (si hay uno).

Sea $X_{n}$ una variable aleatoria cuyo índice señala el tamaño de la muestra a partir de la cual dicha variable aleatoria está construida.

Se define convergencia en probabilidad

Se dice que la sucesión de variables aleatorias $X_{n}$ converge en probabilidad a una constante c si $\lim _{n\to \infty }{P(|X_{n}-c|>\varepsilon )=0}$ para cualquier $\varepsilon$ >0, también se escribe como $X_{n}{\overset {P}{\rightarrow }}c$.

El resultado anterior, con ayuda de las propiedades de valor absoluto se puede ver como

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(|X_{n}-c|>\epsilon )=\lim _{n\to \infty }P(X_{n}-c>\epsilon \ \cup \ c-X_{n}>\epsilon )}$

Implicaciones

Sea $(\Omega ,\digamma ,P)$ un espacio de probabilidad, $X_{n},X:\Omega \rightarrow R$ variables aleatorias. Entonces si la sucesión de $X_{n}$ converge casi seguramente, lo hace tambien en probabilidad.

• Datos: Q5637553