Construcción Proy

En geometría algebraica, el operador Proy es una construcción análoga al espectro-de-un-anillo en los esquemas afines, que produce objetos con las propiedades típicas de los espacios proyectivos y de las variedades proyectivas. La construcción, si bien no es funtorial, es una herramienta fundamental en la teoría de esquermas.

En este artículo se asumirá que todos los anillos considerados son conmutativos y con elemento identidad.

Proy de un anillo graduado

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Proy como conjunto

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Sea   un álgebra graduada, donde:   es la descomposición de la suma directa asociada con la graduación. El ideal irrelevante de   es el ideal de elementos de grado positivo:   Se dice que un ideal es homogéneo si está generado por elementos homogéneos. Entonces, como conjunto:   Por brevedad, a veces se escribe   en lugar de  .

Proy como espacio topológico

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Se puede definir una topología, denominada topología de Zariski, en   definiendo los conjuntos cerrados como aquellos de la forma

 

donde   es un álgebra graduada de  . Como en el caso de los esquemas afines, se comprueba rápidamente que los   forman los conjuntos cerrados de una topología sobre  .

De hecho, si   es una familia de ideales, entonces se tiene que   y si el conjunto de indexación "I" es finito, entonces  .

De manera equivalente, se pueden tomar los conjuntos abiertos como punto de partida y definir

 

Una abreviatura común es denotar   por  , donde   es el ideal generado por  . Para cualquier ideal  , los conjuntos   y   son complementarios y, por tanto, la misma prueba anterior demuestra que los conjuntos   forman una topología en  . La ventaja de este enfoque es que los conjuntos  , donde   abarca todos los elementos homogéneos del anillo  , forman una base para esta topología, que es una herramienta indispensable para el análisis de  , al igual que el hecho análogo para el espectro de un anillo también es indispensable.

Proy como esquema

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También se construye un haz en  , llamado haz de estructura como en el caso afín, lo que lo convierte en un esquema. Como en el caso de la construcción Espec, hay muchas maneras de proceder: la más directa, que también sugiere mucho la construcción de funciones regulares sobre una variedad proyectiva en la geometría algebraica clásica, es la siguiente. Para cualquier conjunto abierto   de   (que es, por definición, un conjunto de ideales primos homogéneos de   que no contiene a  ), se define el anillo   como el conjunto de todas las funciones:

 

(donde   denota el subanillo del anillo de fracciones   que consta de fracciones de elementos homogéneos del mismo grado) tal que para cada ideal primo   de  :

  1.   es un elemento de  ;
  2. Existe un subconjunto abierto   que contiene   y elementos homogéneos   de   del mismo grado tal que para cada ideal primo   de  :
    •   no está en  ;
    •  

De la definición se deduce inmediatamente que   forma un haz de anillos   sobre  , y se puede demostrar que el par ( ,  ) es de hecho un esquema (esto se logra mostrando que cada uno de los subconjuntos abiertos   es de hecho un esquema afín).

Haz asociado a un módulo graduado

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La propiedad esencial de   para la construcción anterior es la capacidad de formar localizaciones   para cada ideal primo   de  . Esta propiedad también la posee cualquier álgebra graduada   sobre   y, por lo tanto, con las modificaciones menores apropiadas, la sección anterior construye para cualquier   un haz, denotado como  , de módulos   en  . Este haz es cuasicoherente por construcción. Si   es generado por un número finito de elementos de grado   (por ejemplo, un anillo polinómico o un cociente homogéneo del mismo), todos los haces cuasicoherentes en   surgen de módulos graduados mediante esta construcción.[1]​ El módulo calificado correspondiente no es único.

Haz retorcido de Serre

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Un caso especial del haz asociado a un módulo graduado es cuando se toma   como   con una calificación diferente: es decir, se deja que los elementos de grado   de   sean los elementos de grado   de  , entonces: y denota  . Entonces, se obtiene   como un haz cuasicoherente en  , denotado como   o simplemente  , llamado haz retorcido de Serre. Se puede comprobar que   es de hecho un haz invertible.

Una razón de la utilidad de   es que recupera la información algebraica de   perdida cuando, en la construcción de  , se pasa a fracciones de grado cero. En el caso del espectro de un anillo A, las secciones globales de la estructura forman el propio A, mientras que las secciones globales de   aquí forman solo los elementos de grado cero de  . Si se define

 

entonces, cada   contiene la información de grado   sobre  , denotada como  , y en conjunto contienen toda la información de calificación que se perdió. Asimismo, para cualquier haz de   módulos graduado  , se define

 

y se espera que este haz retorcido contenga información de clasificación sobre  . En particular, si   es el haz asociado a un módulo   graduado  , también se espera que contenga la información de clasificación perdida sobre  . Esto sugiere, aunque erróneamente, que " " de hecho puede reconstruirse a partir de estos haces. Pero como: , esto es cierto solo en el caso de que   sea un anillo polinómico, como se muestra a continuación. Esta situación debe contrastarse con el hecho de que el funcional espec es adjunto al functor de secciones globales en la categoría de espacios localmente anillados.

n-espacio proyectivo

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Si   es un anillo, se define el espacio proyectivo n sobre   como esquema.

 

La clasificación en el anillo polinómico   se define dejando que cada   tenga grado uno y cada elemento de  , grado cero. Comparando esto con la definición de   anterior, se ve que las secciones de   son en realidad polinomios lineales homogéneos, generados por los propios  . Esto sugiere otra interpretación de  , es decir, como el haz de coordenadas para  , ya que las   son literalmente las coordenadas del  -espacio proyectivo.

Ejemplos de Proy

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Proy sobre la recta afín

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Si se considera que el anillo base sea  , entonces:   tiene un morfismo proyectivo canónico con respecto a la recta afín   cuyas fibras son curvas elípticas excepto en los puntos   donde las curvas degeneran en curvas nodales. Entonces, existe una fibración:   que también es un morfismo suave de esquemas (lo que se puede verificar usando el criterio jacobiano).

Hipersuperficies proyectivas y variedades

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La hipersuperficie proyectiva   es un ejemplo de triple quíntico de Fermat que también es una variedad de Calabi-Yau. Además de las hipersuperficies proyectivas, cualquier variedad proyectiva recortada por un sistema de polinomios homogéneos   en   variables se puede convertir en un esquema proyectivo utilizando la construcción Proy para el álgebra graduada:  dando una incorporación de variedades proyectivas en esquemas proyectivos.

Espacio proyectivo ponderado

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Los espacios proyectivos ponderados se pueden construir utilizando un anillo polinómico cuyas variables tienen grados no estándar. Por ejemplo, el espacio proyectivo ponderado   corresponde a tomar   del anillo   donde   tiene peso   mientras que   tiene peso 2.

Anillos bigraduados

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La construcción proy se extiende a anillos bigraduados y multigraduados. Geométricamente, esto corresponde a tomar productos de esquemas proyectivos. Por ejemplo, dados los anillos graduados:

 

con el grado de cada generador  . Entonces, el producto tensorial de estas álgebras sobre   genera el álgebra bigraduada:

 

donde   tiene peso   y además   tiene peso  . Entonces, la construcción proy da:

 

que es un producto de esquemas proyectivos. Hay un embebido de tales esquemas en el espacio proyectivo tomando el álgebra graduada total:   donde un elemento de grado   se considera como un elemento de grado  . Esto significa que la pieza   de   es el módulo:   Además, el esquema   ahora viene con haces bigraduados   que son el producto tensorial de los haces   donde:   y :  son las proyecciones canónicas que provienen de las inyecciones de estas álgebras del diagrama de producto tensorial de álgebras conmutativas.

Proy global

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Una generalización de la construcción de Proy reemplaza el anillo S con un haz de álgebras y produce, como resultado, un esquema que podría considerarse como una fibración de anillos de proy. Esta construcción se utiliza a menudo, por ejemplo, para construir el espacio proyectivo paquetes sobre un esquema base.

Supuestos

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Formalmente, sea X cualquier esquema y S un haz de álgebras graduadas   (cuya definición es similar a la definición de  -módulos en un espacio localmente anillado): es decir, un haz con una descomposición de la suma

 

donde cada   es un módulo   tal que para cada subconjunto abierto U de X, S(U) es un álgebra   y la descomposición de suma directa resultante

 

es una calificación de esta álgebra como un anillo. Aquí se supone que  . Se hace la suposición adicional de que S es un haz cuasi-coherente. Esta es una suposición de consistencia en las secciones de diferentes conjuntos abiertos que es necesaria para que la construcción avance.

Construcción

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En esta configuración se puede construir un esquema   y una aplicación de "proyección" p sobre X tal que para cada afín abierto U de X,

 

Esta definición sugiere que se construya   definiendo primero los esquemas   para cada U afín abierto, estableciendo que

 

y aplica  , y luego se demuestra que estos datos se pueden pegar "sobre" cada intersección de dos afines abiertos U y V para formar un esquema Y que se define como  . No es difícil demostrar que definir cada   como la aplicación correspondiente a la inclusión de   en S(U) como elementos de grado cero produce la consistencia necesaria de  , mientras que la consistencia de los propios   se deriva del supuesto de cuasi coherencia en S.

Haz retorcido

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Si S tiene la propiedad adicional de que   es un haz coherente y genera localmente S sobre   (es decir, cuando se pasa al tallo del haz S en un punto x de X, que es un álgebra graduada cuyos elementos de grado cero forman el anillo   y luego el de grado uno (los elementos forman un módulo generado finitamente sobre   y también generan el tallo como un álgebra sobre él), entonces se puede hacer una construcción adicional. Sobre cada U afín abierto, Proy S(U) lleva un haz invertible O(1), y la suposición que se acaba de hacer asegura que estos haces se pueden pegar igual que el   anterior. El haz resultante en   también se denota O(1) y tiene para   el mismo propósito que el haz retorcido en el Proy de un anillo.

Proy de un haz cuasi coherente

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Sea   un haz cuasi coherente en un esquema  . El haz de álgebras simétricas   es naturalmente un haz cuasi coherente de módulos   graduados, generados por elementos de grado 1. El esquema resultante se denota por  . Si   es de tipo finito, entonces su morfismo canónico   es un morfismo proyectivo.[2]

Para cualquier  , la fibra del morfismo anterior sobre   es el espacio proyectivo   asociado al dual del espacio vectorial   sobre  .

Si   es un haz cuasi coherente de módulos   graduados, generados por   y tales que   es de tipo finito, entonces   es un subesquema cerrado de   y luego es proyectivo sobre  . De hecho, todo subesquema cerrado de un   proyectivo tiene esta forma.[3]

Paquetes espaciales proyectivos

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Como caso especial, cuando   está localmente libre del rango  , se obtiene un paquete proyectivo   sobre   de dimensión relativa  . De hecho, si se toma un recubrimiento de X mediante afines abiertos   de manera que cuando se restringe a cada uno de estos,   es libre sobre A, entonces

 

y por tanto   es un paquete espacial proyectivo. Se pueden construir muchas familias de variedades como subesquemas de estos haces proyectivos, como la familia de curvas elípticas de Weierstrass. Para más detalles, consúltese el artículo principal.

Ejemplo de Proy global

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El proyecto global se puede utilizar para construir el pincel de Lefschetz. Por ejemplo, sea   y tómense polinomios homogéneos   de grado k. Se puede considerar el haz ideal   de   y construir un proy global de este haz cociente de álgebras  . Esto puede describirse explícitamente como el morfismo proyectivo  .

Véase también

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Referencias

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  1. Ravi Vakil (2015). Foundations of Algebraic Geometry. , Corollary 15.4.3.
  2. EGA, II.5.5.
  3. EGA, II.5.5.1.

Bibliografía

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  • Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 8. doi:10.1007/bf02699291. MR 0217084.
  • Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157