Conjetura de Painlevé

En física, la conjetura de Painlevé es una proposición sobre las singularidades entre las soluciones del problema de los n cuerpos, que afirma que existen singularidades sin colisiones para n ≥ 4.​​

La configuración de cinco cuerpos de Jeff Xia consta de cinco masas puntuales, con dos parejas de ellas dispuestas en órbitas elípticas excéntricas una alrededor de la otra y una masa moviéndose a lo largo de la línea de simetría. Xia demostró que para ciertas condiciones iniciales, la masa final será acelerada a velocidad infinita en tiempo finito. Esta configuración permite demostrar la conjetura de Painlevé para cinco cuerpos en el espacio tridimensional.

Fue planteada en 1895 por el matemático y político francés Paul Painlevé (1863-1933).

La conjetura ha sido probada para n ≥ 5 por Jeff Xia.​​ El caso con 4 partículas sigue siendo un problema abierto.​

Antecedentes

Las soluciones $(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ del problema de los n cuerpos ${\dot {\mathbf {q} }}=M^{-1}\mathbf {p} ,\;{\dot {\mathbf {p} }}=\nabla U(\mathbf {q} )$ (donde M son las masas y U indica el potencial gravitatorio) se dice que tienen una singularidad si existe una secuencia de instantes $t_{n}$ que convergen a un $t^{*}$ finito donde $\nabla U\left(\mathbf {q} \left(t_{n}\right)\right)\rightarrow \infty$. Es decir, las fuerzas y aceleraciones se vuelven infinitas en algún instante finito en el tiempo.

Una "singularidad de colisión" se produce si $\mathbf {q} (t)$ tiende a un límite definido cuando $t\rightarrow t^{*},t<t^{*}$. Si el límite no existe, la singularidad se denomina singularidad de pseudocolisión o sin colisión.

Paul Painlevé demostró que para n = 3 cualquier solución con una singularidad de tiempo finito experimenta una singularidad con colisión. Sin embargo, no pudo extender este resultado más allá de 3 cuerpos. Sus conferencias de Estocolmo de 1895 terminan con la conjetura de que:

Para n ≥ 4 el problema de los n cuerpos admite singularidades sin colisión.​​

Desarrollo

Edvard Hugo von Zeipel demostró en 1908 que si existe una singularidad de colisión, entonces $J(\mathbf {q} (t))$ tiende a un límite definido como $t\rightarrow t^{*}$, donde $J(\mathbf {q} )=\sum _{i}m_{i}|\mathbf {q} _{i}|^{2}$ es el momento de inercia.​ Esto implica que una condición necesaria para una singularidad sin colisión es que la velocidad de al menos una partícula se hace ilimitada (puesto que las posiciones $\mathbf {q}$ permanecen finitas hasta este punto).​

Mather y McGehee lograron demostrar en 1975 que una singularidad sin colisión puede darse en el problema co-lineal de 4 cuerpos (es decir, con todos los cuerpos en una línea), pero solo después de un número infinito de colisiones binarias (regularizadas).​

Donald G. Saari demostró en 1977 que para casi todas las condiciones iniciales (en el sentido de la medida de Lebesgue) en el plano o el espacio para problemas de 2, 3 y 4 cuerpos existen soluciones sin singularidad.​

En 1984, Joe Gerver dio un argumento para una singularidad de no colisión en el problema planar de 5 cuerpos sin colisiones.​ Posteriormente encontró una prueba para el caso de cuerpo 3n .​

Por último, en su tesis doctoral de 1988, Jeff Xia demostró una configuración de 5 cuerpos que experimenta una singularidad sin colisión.​​

Joe Gerver ha facilitado un modelo heurístico para la existencia de singularidades de 4 cuerpos​ pero en la actualidad no existe ninguna prueba formal.

Referencias

• Datos: Q18386040