Primera conjetura de Hardy-Littlewood

(Redirigido desde «Conjetura de Hardy-Littlewood»)

En teoría de números, la primera conjetura de Hardy–Littlewood[1]​ muestra una fórmula asintótica para estimar el número de k-tuplas de primos menores que una magnitud dada mediante la generalización del teorema de los números primos. Fue propuesta por primera vez por G. H. Hardy y John Edensor Littlewood en 1923.[2]

Primera conjetura de Hardy–Littlewood

Gráfica que muestra la cantidad de números primos gemelos menores que un n dado. La primera conjetura de Hardy–Littlewood predice que hay una infinidad de ellos.
Campo Teoría de números
Conjeturado por G. H. Hardy
John Edensor Littlewood
Conjeturado en 1923
Problema abierto

Enunciado

editar

Sean   números enteros positivos pares tales que los números de la sucesión   no forman una clase de residuos completa con respecto a cualquier primo y sea   el número de primos   menores que   siendo todos   números primos. Entonces[1][3]

 

donde

 

es un producto sobre los números primos impares y   denota el número de residuos distintos de   módulo  .

El caso   y   es relacionado con la conjetura de los primos gemelos. Específicamente si   denota el número de primos gemelos menores que n, entonces

 

donde

 

es la constante de los primos gemelos.[3]

Número de Skewes

editar

Los números de Skewes para k-tuplas de primos son una extensión de la definición de número de Skewes para k-tuplas de primos basadas en la primera conjetura de Hardy–Littlewood. El primer primo p que viola la desigualdad de Hardy–Littlewood para la k-tupla P, i.e., tal que

 

(si tal primo existe) es el número de Skewes para P.[3]

Consecuencias

editar

La conjetura se ha mostrado inconsistente con la segunda conjetura de Hardy–Littlewood.[4]

Generalizaciones

editar

La Conjetura de Bateman-Horn generaliza la primera conjetura de Hardy–Littlewood a polinomios de grado mayor que 1.[1]

Referencias

editar
  1. a b c Aletheia-Zomlefer, Fukshansky y Garcia, 2020.
  2. Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1923). «Some Problems of 'Partitio Numerorum.' III. On the Expression of a Number as a Sum of Primes.». Acta Math. 44 (44): 1-70. doi:10.1007/BF02403921. .
  3. a b c Tóth, 2019.
  4. Richards, Ian (1974). «On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes». Bull. Amer. Math. Soc. 80: 419-438. doi:10.1090/S0002-9904-1974-13434-8. 

Bibliografía

editar