Conjetura de Fermat–Catalan
En teoría de números, la conjetura de Fermat–Catalan combina ideas del último teorema de Fermat y de la conjetura de Catalan, de ahí el nombre. La conjetura postula que la ecuación
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tiene un número finito de soluciones (a,b,c,m,n,k); aquí a, b, c son números enteros positivos coprimos y m, n, k son enteros positivos que satisfacen
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A fecha de 2008, se conocen las siguientes soluciones de ([1]
):La primera de ellas (1m+23=32) es la única solución donde una de las variables a, b o c es 1; esta es la conjetura de Catalan, demostrada en 2002 por Preda Mihăilescu. Técnicamente, este caso produce un número infinito de soluciones de ( ) (puesto que se puede escoger cualquier m para m>6), pero a los efectos de enunciado de la conjetura de Fermat-Catalan se contabilizarán todas esas soluciones como una sola.
Se conoce, mediante el teorema de Faltings, que para cualquier elección fijada de enteros positivos m, n y k que satisfacen ( ), existe únicamente un número finito de tuplas de números enteros coprimos (a, b, c) que resuelven ( ), pero claro, la conjetura de Fermat–Catalan completa es una afirmación mucho más fuerte.
La conjetura abc implica la conjetura de Fermat–Catalan.[1]
Referencias
editar- ↑ a b Pomerance, Carl (2008), «Computational Number Theory», en Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, eds., The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, pp. 361-362, ISBN 9780691118802..