Circunferencia goniométrica

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La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria, es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas, de un plano euclídeo o complejo. Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas y funciones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.

La circunferencia unidad y el triángulo rectángulo asociado.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, a y b

Satisfacen la ecuación:

radio = hipotenusa.

Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria

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Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo   con el eje X, las principales funciones trigonométricas se pueden representar como razón de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, de la siguiente manera:

El seno es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

 

y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene valor = 1, se deduce:

 

El coseno es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)

 

y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:

 

La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente

 
 
Principales valores de las razones trigonométricas representados como segmentos respecto de la circunferencia goniométrica.
 
Valores de los ángulos más comunes y las coordenadas correspondientes sobre la circunferencia goniométrica.

Por semejanza de triángulos:  

como   se deduce que:  

 

Funciones trigonométricas recíprocas.

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La cosecante, la secante y la cotangente, son las razones trigonométricas recíprocas del seno, coseno y tangente:

 
 
 

Los valores de la cotangente, la secante y la cosecante se obtienen, análogamente, mediante semejanza de triángulos.

Topología

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En topología, a la circunferencia unitaria (también denominado disco unidad) se la clasifica como  ; la generalización para una dimensión más es la esfera unidad  .

Véase también

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