Base holonómica

En matemáticas y física matemática, una base coordenada o base holonómica para una variedad diferenciable $M$ , es un conjunto de bases de campos vectoriales $\{e_{a}\}$ definido en cada punto $P$ de una región de la variedad como

\mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }}},

donde $s$ es el vector de desplazamiento infinitesimal entre el punto $P$ y un punto cercano $Q$ cuya separación de coordenadas desde $P$ es $\delta x^{a}$ a lo largo de la curva de coordenadas $x^{a}$ (ej. la curva en la variedad a través de $P$ para la cual la coordenada $x^{a}$ varía pero todas las demás coordenadas son constantes.^[1]

Es posible hacer una asociación entre tal base y operadores derivados direccionales. Dada una curva parametrizada $C$ en la variedad definida por $x^{a}(\lambda )$ con el vector tangente $u=u^{a}e_{a}$ , donde $u^{a}={\tfrac {dx^{a}}{d\lambda }}$ , y una función $f(x^{a})$ definida en un entorno de $C$ , la variación de $f$ a lo largo de $C$ puede ser escrita como

{\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}.

Ya que tenemos que $u=u^{a}e_{a}$ , la identificación es comúnmente hecha entre un vector de base de coordenadas $e_{a}$ y el operador diferencial parcial ${\tfrac {\partial }{\partial x^{a}}}$ , bajo la interpretación de las relaciones de todos los vectores como iguales entre operadores actuando en cantidades escalares.^[2]

Una condición local para que una base $\{e_{k}\}$ sea holonómica es que (con esta interpretación) todas las derivadas de Lie mutuas, desaparezcan:^[3]

\left[\mathbf {e} _{\alpha },\mathbf {e} _{\beta }\right]=0.

Una base que no es holonómica, se le llama base no holonómica o base no coordenada.

Es generalmente imposible encontrar una base holonómica que también sea ortogonal en cada región abierta $U$ de una variedad $M$ , con una obvia excepción del espacio coordenado real $R^{n}$ , considerado como una variedad con la métrica euclidiana ${\delta }_{ij}$ en cada punto.^[4]

Referencias

↑ Hobson, M. P.; Efstathiou, G. P.; Lasenby, A. N. (2006). General Relativity: An Introduction for Physicists (en inglés). Cambridge University Press. p. 57. ISBN 978-0-521-82951-9.
↑ Padmanabhan, T. (2010). Gravitation: Foundations and Frontiers (en inglés) (primera edición). Cambridge University Press. p. 25. ISBN 978-0-521-88223-1.
↑ Penrose, Roger; Rindler, Wolfgang (2008). Spinors and Space-Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields Paperback: Two-spinor Calculus and Relativistic Fields. Cambridge Monographs on Mathematical Physics (en inglés). Cambridge University Press. pp. 197-199. ISBN 978-0-521-33707-6.
↑ Schutz, Bernard F. (1980). Geometrical Methods of Mathematical Physics (en inglés). Cambridge University Press. p. 69. ISBN 978-0-521-29887-2.

Datos: Q5884206

[1] Hobson, M. P.; Efstathiou, G. P.; Lasenby, A. N. (2006). General Relativity: An Introduction for Physicists (en inglés). Cambridge University Press. p. 57. ISBN 978-0-521-82951-9.

[2] Padmanabhan, T. (2010). Gravitation: Foundations and Frontiers (en inglés) (primera edición). Cambridge University Press. p. 25. ISBN 978-0-521-88223-1.

[3] Penrose, Roger; Rindler, Wolfgang (2008). Spinors and Space-Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields Paperback: Two-spinor Calculus and Relativistic Fields. Cambridge Monographs on Mathematical Physics (en inglés). Cambridge University Press. pp. 197-199. ISBN 978-0-521-33707-6.

[4] Schutz, Bernard F. (1980). Geometrical Methods of Mathematical Physics (en inglés). Cambridge University Press. p. 69. ISBN 978-0-521-29887-2.

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