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Anexo:Números primos de Mersenne y números perfectos

Cuisenaire rods showing the proper divisors of 6 (1, 2, and 3) adding up to 6
Visualización del 6 como número perfecto.
Gráfico que representa los años en el eje de abscisas y el número de dígitos del mayor primo conocido logarítmicamente en el eje de ordenadas, con dos líneas de tendencia.
Gráfico logarítmico del número de dígitos del mayor primo conocido por año, casi todos los cuales han sido primos de Mersenne.

Los números primos de Mersenne y los números perfectos son dos tipos de números naturales profundamente interrelacionados en la teoría de números. Los números primos de Mersenne, que deben su nombre al fraile Marin Mersenne, son números primos que pueden expresarse como 2p - 1 para algún número entero positivo p. Por ejemplo, el 3 es un primo de Mersenne, ya que es un número primo y se puede expresar como 22 - 1.[1]​[2]​ Los números p correspondientes a los primos de Mersenne deben ser a su vez primos, aunque no todos los primos p conducen a primos de Mersenne; por ejemplo, 211 - 1 = 2047 = 23 × 89.[3]​ Por su parte, los números perfectos son números naturales que equivalen a la suma de sus divisores propios positivos, que son los divisores que excluyen al propio número. Así, 6 es un número perfecto porque los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3, y 1 + 2 + 3 = 6.[2]​[4]​

Existe una correspondencia unívoca entre los primos de Mersenne y los números perfectos pares. Esto se debe al teorema de Euclides-Euler, demostrado parcialmente por Euclides y completado por Leonhard Euler: los números pares son perfectos si y sólo si pueden expresarse de la forma 2p − 1 x (2p - 1), donde 2p - 1 es un primo de Mersenne. En otras palabras, todos los números que se ajustan a esa expresión son perfectos, mientras que todos los números pares perfectos se ajustan a esa forma. Por ejemplo, en el caso de p = 2, 22 - 1 = 3 es primo, y 22 - 1 x (22 - 1) = 2 x 3 = 6 es perfecto.[1]​[5]​[6]​

Actualmente es un problema abierto si existe un número infinito de números primos de Mersenne y números perfectos pares.[2]​[6]​ La frecuencia de los números primos de Mersenne es objeto de la conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff, que afirma que el número esperado de números primos de Mersenne menores que x es (eγ / log 2) × log log x, donde e es el número de Euler, γ es la constante de Euler y log es el logaritmo natural.[7]​[8]​[9]​ Tampoco se sabe si existen números perfectos impares; se han demostrado varias condiciones sobre posibles números perfectos impares, incluyendo un límite inferior de 101500.[10]​

En 2024, se conocían 52 primos de Mersenne (y, por tanto, números perfectos), los 18 mayores de los cuales han sido descubiertos por el proyecto de computación distribuida por GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search; Gran Búsqueda de Números Primos de Mersenne por Internet).[2]​ Los nuevos primos de Mersenne se encuentran utilizando la prueba de Lucas-Lehmer (LLT; Lucas–Lehmer test), una prueba de primalidad para los primos de Mersenne que es eficiente para los ordenadores binarios.[2]​

Los rangos mostrados están entre los índices conocidos actualmente hasta 2022; aunque es poco probable, los rangos pueden cambiar si se descubren otros más pequeños. Según GIMPS, todas las posibilidades menores que el 48º exponente de trabajo p = 57.885.161 han sido verificadas hasta enero de 2024.[11]​ El año de descubrimiento y el descubridor corresponden al primo de Mersenne, ya que el número perfecto se sigue inmediatamente por el teorema de Euclides–Euler. Los descubridores denominados como "GIMPS / nombre" se refieren a descubrimientos de GIMPS con hardware utilizado por esa persona. Las entradas posteriores son extremadamente largas, por lo que solo se muestran los primeros y últimos seis dígitos de cada número.

Tabla de los 51 números primos de Mersenne actualmente conocidos y sus correspondientes números perfectos
Rango p Primo de Mersenne Números primos de Mersenne Número perfecto Cifras numéricas perfectas Descubierto Descubridor Método Abreviatura [12]​
1 2 3 1 6 1 Antigüedad[nota 1]​ Conocido por los matemáticos de la antigua Grecia Sin registro [13]​[14]​[15]​
2 3 7 1 28 2 Antigüedad[nota 1]​ [13]​[14]​[15]​
3 5 31 2 496 3 Antigüedad[nota 1]​ [13]​[14]​[15]​
4 7 127 3 8128 4 Antigüedad[nota 1]​ [13]​[14]​[15]​
5 13 8191 4 33550336 8 1200 aprox. - 1456[nota 2]​ Varios[nota 3]​ División por tentativa [14]​[15]​
6 17 131071 6 8589869056 10 1588[nota 2]​ Pietro Cataldi [2]​[16]​
7 19 524287 6 137438691328 12 [2]​[16]​
8 31 2147483647 10 230584...952128 19 1772 Leonhard Euler División de prueba con restricciones modulares [17]​[18]​
9 61 230584...693951 19 265845...842176 37 Noviembre de 1883 Ivan Pervushin Sucesión de Lucas [19]​
10 89 618970...562111 27 191561...169216 54 Junio de 1911 Ralph Ernest Powers [20]​
11 107 162259...288127 33 131640...728128 65 1 de junio de 1914 [21]​
12 127 170141...105727 39 144740...152128 77 10 de enero de 1876 Édouard Lucas [22]​
13 521 686479...057151 157 235627...646976 314 30 de enero de 1952 Raphael M. Robinson LLT en SWAC[nota 4]​ [23]​
14 607 531137...728127 183 141053...328128 366 [23]​
15 1.279 104079...729087 386 541625...291328 770 25 de junio de 1952 [24]​
16 2.203 147597...771007 664 108925...782528 1.327 7 de octubre de 1952 [25]​
17 2.281 446087...836351 687 994970...915776 1.373 9 de octubre de 1952 [25]​
18 3.217 259117...315071 969 335708...525056 1.937 8 de septiembre de 1957 Hans Riesel LLT en BESK[nota 5]​ [26]​
19 4.253 190797...484991 1.281 182017...377536 2.561 3 de noviembre de 1961 Alexander Hurwitz LLT on IBM 7090[nota 6]​ [27]​
20 4.423 285542...580607 1.332 407672...534528 2.663 [27]​
21 9.689 478220...754111 2.917 114347...577216 5.834 11 de mayo de 1963 Donald B. Gillies LLT en ILLIAC II[nota 7]​ [28]​
22 9.941 346088...463551 2.993 598885...496576 5.985 16 de mayo de 1963 [28]​
23 11.213 281411...392191 3.376 395961...086336 6.751 2 de junio de 1963 [28]​
24 19.937 431542...041471 6.002 931144...942656 12.003 4 de marzo de 1971 Bryant Tuckerman LLT en IBM 360/91 [29]​
25 21.701 448679...882751 6.533 100656...605376 13.066 30 de octubre de 1978 Landon Curt Noll y Laura Nickel LLT on CDC Cyber 174[30]​ [31]​
26 23.209 402874...264511 6.987 811537...666816 13.973 9 de febrero de 1979 Landon Curt Noll [31]​
27 44.497 854509...228671 13.395 365093...827456 26.790 8 de abril de 1979 Harry L. Nelson y David Slowinski LLT en Cray-1 [32]​[33]​
28 86.243 536927...438207 25.962 144145...406528 51.924 25 de septiembre de 1982 David Slowinski [34]​
29 110.503 521928...515007 33.265 136204...862528 66.530 29 de enero de 1988 Walter Colquitt y Luke Welsh LLT en NEC SX-2 [35]​[36]​
30 132.049 512740...061311 39.751 131451...550016 79.502 19 de septiembre de 1983 David Slowinski y otros (Cray) LLT en Cray X-MP [37]​
31 216.091 746093...528447 65.050 278327...880128 130.100 1 de septiembre de 1985 LLT en Cray X-MP/24 [38]​[39]​
32 756.839 174135...677887 227.832 151616...731328 455.663 17 de febrero de 1992 LLT en el Laboratorio Harwell Cray-2 [40]​
33 859.433 129498...142591 258.716 838488...167936 517.430 4 de enero de 1994 LLT en Cray C90 [41]​
34 1.257.787 412245...366527 378.632 849732...704128 757.263 3 de septiembre de 1996 LLT en Cray T94 [42]​[43]​
35 1.398.269 814717...315711 420.921 331882...375616 841.842 13 de noviembre de 1996 GIMPS / Joel Armengaud LLT / Prime95 en 90 MHz Pentium PC [44]​
36 2.976.221 623340...201151 895.932 194276...462976 1.791.864 24 de agosto de 1997 GIMPS / Gordon Spence LLT / Prime95 en una computadora Pentium de 100 MHz [45]​
37 3.021.377 127411...694271 909.526 811686...457856 1.819.050 27 de enero de 1998 GIMPS / Roland Clarkson LLT / Prime95 en una computadora Pentium de 200 MHz [46]​
38 6.972.593 437075...193791 2.098.960 955176...572736 4.197.919 1 de junio de 1999 GIMPS / Nayan Hajratwala LLT / Prime95 en una computadora IBM Aptiva con un procesador Pentium II de 350 MHz [47]​
39 13.466.917 924947...259071 4.053.946 427764...021056 8.107.892 14 de noviembre de 2001 GIMPS / Michael Cameron LLT / Prime95 en una computadora con un procesador Athlon T-Bird de 800 MHz [48]​
40 20.996.011 125976...682047 6.320.430 793508...896128 12.640.858 17 de noviembre de 2003 GIMPS / Michael Shafer LLT / Prime95 en una computadora Dell Dimension con un procesador Pentium 4 de 2 GHz [49]​
41 24.036.583 299410...969407 7.235.733 448233...950528 14.471.465 15 de mayo de 2004 GIMPS / Josh Findley LLT / Prime95 en una computadora con un procesador Pentium 4 de 2.4 GHz [50]​
42 25.964.951 122164...077247 7.816.230 746209...088128 15.632.458 18 de febrero de 2005 GIMPS / Martin Nowak [51]​
43 30.402.457 315416...943871 9.152.052 497437...704256 18.304.103 15 de diciembre de 2005 GIMPS / Curtis Cooper y Steven Boone LLT / Prime95 en una computadora de la Universidad Central de Misuri [52]​
44 32.582.657 124575...967871 9.808.358 775946...120256 19.616.714 4 de septiembre de 2006 [53]​
45 37.156.667 202254...220927 11.185.272 204534...480128 22.370.543 6 de septiembre de 2008 GIMPS / Hans-Michael Elvenich LLT / Prime95 en una computadora [54]​
46 42.643.801 169873...314751 12.837.064 144285...253376 25.674.127 4 de junio de 2009[nota 8]​ GIMPS / Odd Magnar Strindmo LLT / Prime95 en una computadora con un procesador

Intel Core 2 de 3 GHz

[55]​
47 43.112.609 316470...152511 12.978.189 500767...378816 25.956.377 23 de agosto de 2008 GIMPS / Edson Smith LLT / Prime95 en una computadora Dell OptiPlex con un procesador

Intel Core 2 Duo E6600

[54]​[56]​[57]​
48 57.885.161 581887...285951 17.425.170 169296...130176 34.850.340 25 de enero de 2013 GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 en una computadora de la Universidad Central de Misuri [58]​[59]​
* 70.578.077 Hito más bajo sin verificar[nota 9]​
49[nota 10]​ 74.207.281 300376...436351 22.338.618 451129...315776 44.677.235 7 de enero de 2016[nota 11]​ GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 en una computadora con un procesador Intel Core i7-4790 [60]​[61]​
50[nota 10]​ 77.232.917 467333...179071 23.249.425 109200...301056 46.498.850 26 de diciembre de 2017 GIMPS / Jonathan Pace LLT / Prime95 en una computadora con un procesador Intel Core i5-6600 [62]​[63]​
51[nota 10]​ 82.589.933 148894...902591 24.862.048 110847...207936 49.724.095 7 de diciembre de 2018 GIMPS / Patrick Laroche LLT / Prime95 en una computadora con un procesador Intel Core i5-4590T [64]​[65]​
* 124.817.431 Hito más bajo sin probar[nota 9]​
52[nota 10]​ 136.279.841 881694...871551 41.024.320 388692...008576 82.048.640 12 de octubre de 2024 GIMPS / Luke Durant LLT / PRPLL en la GPU Nvidia H100[nota 12]​ [66]​

Históricamente, el mayor número primo conocido ha sido a menudo un primo de Mersenne.

Se pueden observar patrones en las últimas cifras de los números primos de Mersenne y los correspondientes números perfectos anteriores, pero son simples propiedades de los números impares de Mersenne y no dependen de su primalidad.

Multiplicar por 2 genera un ciclo de longitud 4 módulo 5 (1, 2, 4, 3, repetir). Así, 24k ±1 ≡ ±2 (mod 5). Como esto también es múltiplo de 4 para k > 0, 24k ±1 ≡ ±12 (mod 20). Así, todos los números de Mersenne M4k +1 son congruentes con 11 módulo 20 y terminan en 11, 31, 51, 71 o 91, mientras que los números de Mersenne M4k −1 ≡ 7 (mod 20) y terminan en 07, 27, 47, 67 o 87.

Para los números perfectos, definimos Pn = 2n−1Mn como el valor que es perfecto si Mn es primo. Cuando n = 4k +1 y k > 0, 24k ≡ 16 (mod 20), por lo que Pn ≡ 16×11 ≡ 16 (mod 20) y terminará en 16, 36, 56, 76 o 96.

Cuando n = 4k −1 y k > 0, 24k −2 ≡ 4 (mod 20), por lo que Pn ≡ 4×7 ≡ 28 ≡ 8 (mod 20).

Sin embargo, en este caso, hay alguna cancelación fortuita entre los dos factores de Pn módulo 25, lo que resulta en P4k −1 ≡ 3 (mod 25). Combinado con el hecho de que P4k −1 es múltiplo de 8 siempre que k > 1, tenemos que P4k −1 ≡ 128 (mod 200) y termina en 128, 328, 528, 728 o 928. (P3 = 28 sólo es múltiplo de 4, no de 8, por lo que sólo es igual a los demás módulo 100).

Notas

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  1. ↑ a b c d Los cuatro primeros números perfectos fueron documentados por Nicómaco hacia el año 100, y Euclides ya conocía el concepto (junto con los correspondientes primos de Mersenne) en la época de sus "Elementos". No hay constancia de su descubrimiento.
  2. ↑ a b Es posible que matemáticos islámicos como Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus (1194-1239) conocieran los números perfectos del cinco al siete antes de los registros europeos. O'Connor, John J. «Perfect numbers». MacTutor History of Mathematics archive (en inglés). Archivado desde el original el 5 de octubre de 2021. Consultado el 13 October 2021. 
  3. ↑ Se encuentra en un manuscrito anónimo, Clm 14908, fechado en 1456 y 1461, y en la obra anterior de Ibn Fallus, que no tuvo gran difusión.«'Calendarium ecclesiasticum – BSB Clm 14908'». Bavarian State Library (en inglés). Archivado desde el original el 13 de octubre de 2021.  Dickson, 1919, pp. 4-6
  4. ↑ Standards Western Automatic Computer; Ordenador automático de normas occidentales.
  5. ↑ Binär Elektronisk SekvensKalkylator; Computadora de Secuencia Binaria.
  6. ↑ International Business Machines; Máquinas de Negocios Internacionales.
  7. ↑ Illinois Automatic Computer; Computadora Automática Illinois.
  8. ↑ M42.643.801 fue reportado por primera vez a GIMPS el 12 de abril de 2009, pero no fue visto por un humano hasta el 4 de junio de 2009 debido a un error del servidor
  9. ↑ a b A 10 de noviembre de 2024.(«GIMPS Milestones Report». Great Internet Mersenne Prime Search (en inglés). Archivado desde el original el 13 de octubre de 2021. ) Todos los exponentes por debajo del hito más bajo no verificado se han comprobado más de una vez. Todos los exponentes por debajo del hito más bajo sin verificar se han comprobado al menos una vez.
  10. ↑ a b c d No se ha comprobado si existen primos de Mersenne por descubrir entre el 48º (M57.885.161) y el 51º (M82.589.933) de esta tabla; por tanto, la clasificación es provisional.
  11. ↑ M74,207,281 fue reportado por primera vez a GIMPS el 17 de septiembre de 2015, pero no fue visto por un humano hasta el 7 de enero de 2016 debido a un error del servidor.
  12. ↑ Detectado por primera vez como probable primo mediante la prueba de primalidad de Fermat en una GPU Nvidia A100 el 11 de octubre de 2024.

Referencias

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  1. ↑ a b Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (en inglés). Springer Science+Business Media. p. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8. Archivado desde el original el 13 de octubre de 2021. 
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  3. ↑ Caldwell, Chris K. «If 2n-1 is prime, then so is n». PrimePages (en inglés). Archivado desde el original el 5 de octubre de 2021. Consultado el 12 de octubre de 2021. 
  4. ↑ Prielipp, Robert W. (1970). «Perfect Numbers, Abundant Numbers, and Deficient Numbers». The Mathematics Teacher (en inglés) 63 (8): 692-96. doi:10.5951/MT.63.8.0692. Archivado desde el original el 5 de octubre de 2021. Consultado el 13 de octubre de 2021. 
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  7. ↑ Caldwell, Chris K. «Heuristics Model for the Distribution of Mersennes». PrimePages (en inglés). Archivado desde el original el 5 de octubre de 2021. Consultado el 13 de octubre de 2021. 
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