Anexo:Derivada de la función logarítmica y la función exponencial.

A continuación vamos a deducir la derivada de la función logaritmo de base apropiada cualquiera y la derivada de la función exponencial.

Derivada de la función logarítmica base a

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Sea la función logaritmo base a:  , por la definición de derivada:

 

Por las propiedades de los logaritmos tenemos que:

 

Que podemos transformar en:

 

Cuando   tiende a cero,   tiende a infinito, introduciendo el cambio de variable resulta :

 

Y por la definición del número e, tenemos que:

 

O, lo que es lo mismo:

 

En el caso particular del logaritmo natural:

 

Ya que  .[1]

Derivada de la función exponencial

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Partimos de una función exponencial  . Vamos a usar la derivada de la función inversa:

 

Dado que   y   son funciones inversas, tenemos que:

 

O lo que es lo mismo:

 

En el caso concreto que  , tenemos que:

 

Ya que  .

Referencias y notas

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  1. Piskunov: Cálculo diferencial e integral tomo I, Editorial Mir, Moscú 1983, sexta edición pp. 84 y 85