Análogo dimensional del Cubo de Rubik

Un Análogo dimensional del Cubo de Rubik es un rompecabezas cuya geometría y funcionamiento son análogos a los del Cubo de Rubik; es decir, puede ser un hipercubo de cualquier número de dimensiones. Estos análogos tienen $n^{d}$ piezas diferentes, donde d es el número de dimensiones del hipercubo y n es el número partes en las que se divide cualquiera de las líneas que unen dos vértices del mismo. El conocido cubo de Rubik es un hipercubo con $3^{3}$ = 27 piezas cúbicas, de las cuales una es invisible por estar en el centro del cubo. Dado que la mecánica de un objeto de cuatro dimensiones o más no puede ser representada físicamente, todos estos rompecabezas análogos existen únicamente como software, siendo el más popular el programa "Magic Cube 4d".

Un rompecabezas de teseracto 4 x 4 x 4 x 4, una de las "caras" permanece oculta a la vista en su representación gráfica

Estructura

Cada uno de los análogos tiene sus piezas cubiertas por estampitas de colores, las cuales tienen $d-1$ dimensiones. Sin embargo, sólo un subconjunto de las piezas muestran sus estampitas al exterior; es decir, hay piezas con un distinto número de estampitas visibles en d dimensiones. Por ejemplo, en el Cubo de Rubik existen piezas que tienen 0, 1, 2, y 3 estampitas. En general los análogos contienen $d+1$ tipos distintos de piezas. Para cada tipo distinto de piezas se puede conocer el número total de ellas en el rompecabezas a través de la fórmula

$2^{s}\cdot {}_{d}\!C_{s}$

Donde d es el número de dimensiones, s es el número de estampitas de un tipo de pieza particular, y ${}_{d}\!C_{s}$ es el número de combinaciones de d cosas tomadas en s, lo que es igual a

${\frac {d!}{s!(d-s)!}}$

Si añadimos a nuestra fórmula el operador $n-2$ obtenemos una expresión para el número de piezas de cualquier n, d, y s

$2^{s}\cdot {}_{d}\!C_{s}\cdot (n-2)$

A partir de estos planteamientos podemos deducir el número de piezas de todos los tipos, por ejemplo de un análogo de la forma $3^{d}$:

d\s	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Piezas totales	Estampitas totales
0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
1	1	2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	3	2
2	1	4	4	0	0	0	0	0	0	0	0	9	12
3	1	6	12	8	0	0	0	0	0	0	0	27	54
4	1	8	24	32	16	0	0	0	0	0	0	81	216
5	1	10	40	80	80	32	0	0	0	0	0	243	810
6	1	12	60	160	240	192	64	0	0	0	0	729	2916
7	1	14	84	280	560	672	448	128	0	0	0	2187	10206
8	1	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	0	0	6561	34992
9	1	18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	0	19683	118098
10	1	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	59049	393660

• Datos: Q5700732